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  • hernandezgomez 5:53 pm el October 22, 2014 Permalink | Responder  

    Paul Hewitt y los físicos sin trabajo 

    Aristóteles

    Aristóteles

    Del domingo 19 de octubre de 2014:

    En Física Conceptual, Paul Hewitt menciona:
    “Aristóteles (384-322 a.C.) afirmaba que un objeto dos veces más pesado que otro cae dos veces más rápidamente”.
    Como primer punto, y dado que a Aristóteles se le atribuyen muchas declaraciones, es un buen ejercicio encontrar exactamente la obra y el pasaje en el que menciona tal cosa.
    Suponiendo que Hewitt dice la verdad, ahora sería bueno tratar de adivinar qué tipo de observación llevó a Aristóteles a establecer esa relación. También es bueno saber en qué condiciones sí se cumple (aunque sea aproximadamente) la relación Aristotélica, tal vez variando la superficie de los objetos que caen para que ofrezcan mayor o menor resistencia al aire.

    Un buen consejo de Hewitt que si es útil en física es más útil todavía en la vida cotidiana:
    “En tu educación no basta con darte cuenta de que otras personas pueden tratar de engañarte, sino que principalmente debes estar consciente de tu propia tendencia a engañarte a ti mismo.”
    Otro:
    “La regla es que las hipótesis deben ser susceptibles de ponerse a prueba. Es más importante que exista una manera de probar que es errónea que de probar que es correcta.”
    Muy pertinente ahora que se puso de moda atacar a los físicos que se dedican a teoría de cuerdas.

    Del jueves 9 de octubre de 2014:

    El C3 realizó su primer simposio de estudiantes. Muchos amigos presentes ahí, pero lo más inquietante para mí fue la plática de 15 minutos de Oliver López, del Instituto de Astronomía de la UNAM. El mensaje es, como si todavía no lo supiera, “cuando termines el doctorado te vas a encontrar en un grave problema porque no vas a conseguir empleo”. Estadísticas y plazas CONACYT para jóvenes investigadores. Pero el mensaje es claro, hay un exceso de doctores en el mundo. Como resultado de la plática, ya tengo en mis manos A PhD Is Not Enough!, de Peter Feibelman. Al respecto y para ser positivo, ¿qué otra cosa nos queda?, recordé lo que alguna vez dijo Manuel Lozano:
    “la mayoría de los físicos que ha habido en la tierra están vivos ahorita, esos físicos han abierto una gran cantidad de líneas de investigación; en algunas de esas líneas hay muy poca gente. Cuando a ustedes les pregunten en qué van a trabajar mencionen alguna. Y una cosa es segura: salario tal vez no tengan, pero trabajo sí que van a tener.”

     
    • oczalevaj 12:17 pm el octubre 26, 2014 Permalink | Responder

      Sería buena una entrada hablando sobre las principales líneas de investigación que han abierto esos físicos, a nivel divulgación, estoy seguro que más de uno lo agradecerá.

      Saludos.

  • hernandezgomez 3:48 pm el January 27, 2014 Permalink | Responder  

    Uri Alon: Cómo elegir un buen problema científico 

    Todos los científicos eligen problemas a los cuales les dedican sus esfuerzos: desde un proyecto posdoctoral de un año hasta la vida académica entera. Con lo importante del tema es difícil encontrar consejos acerca de qué hacer y cómo elegir tema de investigación. Uri Alon, un biólogo muy exitoso que tiene su laboratorio en el Instituto Weizmann, en Israel, escribió un artículo muy útil (1) en el que expone buenos argumentos que se resumen en tres consejos:

    1) Tome tiempo antes de decidir.
    2) Elija el tema que es más factible y más conveniente para usted.
    3) Sea flexible y no se obsesione con un resultado.

    1) Tome tiempo antes de decidir. Los investigadores científicos son personas muy presionadas. Generalmente viven con uno o varios deadlines en la cabeza al final de los cuales tienen que entregar resultados (tesis, artículos, grados académicos) para conservar la beca que los sustenta. Por ésta razón es muy difícil para muchos seguir este consejo. Alon recomienda tres meses de reflexiones, pláticas, consultas y demás análisis antes de iniciar. Esto, aunque parezca paradójico, puede ahorrar mucho tiempo en el futuro.

    2) Elija el tema que es más factible y más conveniente para usted.
    Factibilidad

    La figura muestra unos ejes coordenados. los cuales evalúan, en el lado horizontal, la dificultad con la que se obtienen resultados en ciencias y en el lado vertical la importancia que puedan tener dichos resultados. El autor recuerda, por si a alguien no le ha quedado claro ya, que un problema que en el papel parece fácil en los hechos suele ser difícil, y que los problemas que en el papel parecen muy difíciles, en la práctica resultan imposibles, a lo cual se puede agregar la ley de Hofstadter: “Todo lleva más tiempo que el esperado, incluso si tienes en cuenta La Ley de Hofstadter”. Un investigador joven empieza, o debería empezar, su carrera en la esquina inferior derecha, investigando problemas que son poco trascendentes pero con una dificultad mínima, para ir subiendo poco a poco en dificultad y ambiciones. La curva ideal de crecimiento no es una línea recta, el punto propuesto por Alon para una estancia posdoctoral es la esquina superior derecha: un problema fácil con gran trascendencia, debido a que el tiempo y la los recursos son limitados. Los problemas difíciles y de gran importancia, que normalmente requieren de la participación de todo un grupo de investigación, de muchos años y experimentos complejos son emprendidos por científicos líderes y consagrados en su área. ¿Cómo saber cuales son esos problemas de gran trascendencia? Aquellos que respondan a las preguntas que continuamente aparecen en la mente del investigador. No vale investigar temas sólo porque están de moda. Ante esta cuestión, Alon plantea una pregunta que debería responderse con toda sinceridad: ¿Cuál sería su tema de investigación si usted fuera la única persona sobre la tierra?

    3) Sea flexible y no se obsesione con un resultado.
    Recorrido

    Investigar un problema científico no es un proceso directo. Obsesionarse con un resultado puede hacer imposible advertir las oportunidades que se presentan en el camino. Al iniciar una investigación es aconsejable abrirse un panorama amplio y probar distintos caminos hacia nuestra meta final. Es posible que en dicho proceso aparezca un problema mejor colocado en el diagrama de factibilidad. La figura de arriba muestra el proceso de investigación mal concebido: ir en línea recta de A a B. Probablemente esto sea cierto en el mundo platónico de las ideas, pero no en la realidad. La siguiente gráfica muestra un camino hacia B que finalmente no alcanza esa meta, sino que se desvía hacia el punto más interesante C. Esta habilidad de cambiar sobre la marcha, nos advierte Alon, es muy importante para evitar sufrimientos y decepciones durante la investigación.

    (1) Alon, How To Choose a Good Scientific Problem, Molecular Cell (2009)DOI 10.1016/j.molcel.2009.09.013

     
  • hernandezgomez 1:42 am el January 27, 2013 Permalink | Responder
    Etiquetas: Probabilidad y Estadística   

    Chabelo, una cabra y el problema de Monty Hall 

    Una cabra para el perdedor.

    Una cabra para el perdedor.

    Monty Hall es un conductor de televisión canadiense que tuvo un programa famoso llamado Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), en el que a una persona se le daba la oportunidad de escoger una de entre tres puertas que tenía en su estudio. Detrás de una de ellas se encontraba un automóvil nuevo, en tanto que en cada una de las otras, había una cabra. Desde luego, al abrir la puerta elegida, el concursante se quedaba con lo que hubiera detrás de ella. Éste problema resulta bien conocido para los mexicanos que durante décadas han visto una variante en el programa En Familia con Chabelo, si bien Chabelo nunca ha sido tan generoso como para regalar un coche.
    Pues bien, para hacerlo un poco más interesante, una vez que el concursante había escogido una puerta, Monty Hall abría una de las otras dos, escogiendo siempre aquella que tuviera una cabra y le hacía la pregunta del millón (en éste caso la pregunta del automóvil):

    ¿Te quieres cambiar de puerta o continúas con la que tienes?

    (Chabelo diría, ¿le entras a la catafixia?).
    Aquí hay un asunto sicológico. El concursante puede suponer que, dado que él en realidad tiene el coche, Monty solamente lo está tentando para que suelte el premio, además, es seguro que, fan del programa, haya visto en innumerables ocasiones, la cara de horror de aquellos que, teniendo el coche, decidieron cambiar de puerta por culpa de Monty. Desde luego, puede ser más penoso perder algo que “tuvimos” que algo que nunca fue nuestro. Así que, sin conocer estadísticas, estoy seguro que la mayoría de los concursantes decidieron mantenerse en sus trece y no se cambiaron.
    Una columnista de la revista Parade presentó este problema en el número del 9 de septiembre de 1990 con la pregunta ¿debemos abrir la puerta original o debemos cambiar? Para evitar suspicacias, se supone que Monty Hall siempre habre una puerta, sin atender qué tiene el concursante. Desde luego, nunca abre la que tiene el carro. Éstas consideraciones pueden ser tontas si se considera que Monty es una persona, pero para resolver el problema aquí vamos a usar un programa de computadora.
    El problema de Monty Hall causó revuelo entre la comunidad matemática cuando fue presentado, y aún hoy sigue siendo controvertido. Recuerdo que alguna vez mi asesor de tesis de maestría comentó que él lo había lanzado en una cena con un grupo de estadísticos, y de verdad se armó la polémica. A Marilyn Vos Savant, la periodista que lo publicó, diciendo que las probabilidades de ganar se incrementaban al doble si uno cambiaba, le llovió de todo. Profesores de universidades como la Universidad de Florida, la Universidad de Michigan y la Universidad de Georgetown, escribieron para decir que estaba equivocada, y hubo incluso un matemático muy apasionado que dijo que la propia Vos Savant era una cabra. Como defensa, ella propuso lo siguiente a los profesores de escuelas básicas: que hicieran el experimento cambiando 200 veces y quedandose con la primera opción otras 200. El resultado iba a ser poco elegante (uso de la fuerza bruta) pero concluyente. A falta de 400 alumnos dispuestos a participar, yo voy a hacer un programa en C para simularlo, y pondré yo mismo a prueba el enunciado de Vos Savant.

     
  • hernandezgomez 11:43 pm el August 15, 2012 Permalink | Responder
    Etiquetas: números primos   

    La Distribución de los Números Primos 

    LOS NÚMEROS PRIMOS COMO UNA ESCALERA INFINITA:
    Los números primos son los átomos de los números: las partículas elementales de las matemáticas. Cualquier número entero positivo puede obtenerse como la multiplicación de primos. Por definición son aquellos naturales (excluyendo el 1) que sólo son divisibles entre 1 y ellos mismos. No es difícil listar los primeros:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .... 

    Los usamos todo el tiempo en la vida diaria para sumar quebrados, encontrar mínimo común múltiplo, máximo común divisor, factorizar, etc. Los matemáticos siempre han estado interesados en ellos; hoy hay científicos de la computación y hasta físicos interesados en su estudio.
    Algunas propiedades de éste conjunto son bien conocidas. El 2 es el único que es par, cualquier otro par es divisible entre el 1, el 2 y él mismo, con lo cual se sale de la definición. Otra propiedad del conjunto es que es infinito. La primera demostración de ésto se debe al matemático griego Euclides y tiene unos 2300 años. Analizando listas grandes de primos, es posible ver que, a medida que el tamaño de los números se incrementan, los primos disminuyen. Ésto es intuitivamente claro si pensamos que entre más predecesores tenga un entero, más posibles divisores tiene.
    La siguiente gráfica muestra el comportamiento de los número primos acumulados desde el 1 hasta el 100.

    La gráfica de los primos acumulados hasta el número 100. 25 son primos


    Aquí se observa que siguen una distribución más o menos suave o predecible. No hay saltos o escalones muy pronunciados. La gráfica comienza con el natural 1. En 1 no tenemos ningún primo; sigue en 2, y en ese momento hay uno (el 2); 3, y ese es el segundo; 4, y seguimos teniendo 2 primos, porque 4 es un número compuesto (2 x 2 = 4); 5, el tercero; 6, también compuesto (3 x 2 = 6) y por lo tanto seguimos en 3; 7, el cuarto primo, etc. En el eje horizontal de la gráfica, se muestran todos los enteros desde 1 hasta 100; y en el eje vertical los primos acumulados. Pero analizar el comportamiento de los primeros 100 números naturales (los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …..), que incluyen 25 números primos, no es para nada representativo del comportamiento de todo el conjunto. Para ir un poco más lejos, podemos hacer uso de un programa de computadora como el siguiente, en lenguaje Java:

    Este archivo debe llamarse UsaEratostenes.java

    import java.util.Scanner;
    
    public class UsaEratostenes
     {  // Abre clase UsaEratostenes
     public static void main(String args[])
     {  // Abre main
    
     // Se crea un Objeto de tipo Eratostenes
     Eratostenes miObjeto = new Eratostenes();
     
     // Se llama al metodo Principal
      miObjeto.Principal(); 
     }  // Cierra main
     
     }  // Cierra clase UsaEratostenes
    

    El siguiente archivo debe llamarse Eratostenes.java

     /*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
       +                          CRIBA DE ERATOSTENES                            +
       + Este programa muestra numeros primos obtenidos mediante el algoritmo de  +
       + Eratostenes.                                                             + 
       + ENTRADA: No requiere entrada                                             + 
       + SALIDA: Numeros primos                                                   + 
       +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
    
      /*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
       *                                ALGORITMO:                                *
       * Los numeros de 2 a N se consideran todos primos en un principio          *
       *                                                                          * 
       * Desde j = 2 hasta N - 1                                                  *
       *   Desde k = j hasta N/j                                                  *
       *     El Numero k*j se considera no primo.                                 *  
       *                                                                          *
       * Recorre de nuevo todo el arreglo desde 2 a N y cuenta los primos         *
       *                                                                          *
       * Imprime los numeros primos acumulados hasta el elemento actual del       *
       * arreglo                                                                  *
       +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/ 
      
     public class Eratostenes
     {   // Abre clase Eratostenes
     private int Tamano_Arreglo = 1000000;
     //Basta cambiar este numero para obtener
     // los primos hasta ese limite
    
     /////////////////////////////////////////////
     // METODO PRINCIPAL
     /////////////////////////////////////////////
    
     public void Principal()
    
     { //ABRE PRINCIPAL 
     boolean Arreglo[];
     Arreglo = new boolean[Tamano_Arreglo + 1];
     for ( int i = 1; i < Tamano_Arreglo; i++ )
     Arreglo[i] = true; //EN PRINCIPIO TODOS LOS NUMEROS SE CONSIDERAN PRIMOS
    
     for ( int j = 2; j <= Tamano_Arreglo; j++ )
     if ( true == Arreglo[j] ) // Para numeros grandes este if hace una 
                               // diferencia de tiempo importante
     for ( int k = 2; k <= (Tamano_Arreglo)/j; k++ )
     Arreglo[k*j] = false;
    
     // Se llama al metodo Imprime
     Imprime( Arreglo, Tamano_Arreglo );
    
     } //CIERRA PRINCIPAL 
    
     //////////////////////////////////////////////
     // IMPRIME
     //////////////////////////////////////////////
    
     public void Imprime( boolean A[], int Tamano )
    
     { //ABRE IMPRIME
    
     int acumulado = 0; 
    
     for ( int n = 2; n <= Tamano; n++ )
     { //ABRE FOR
      
     if ( true == A[n] )
     {
     acumulado++;
     }
     System.out.printf("%d\n", acumulado);
     } //CIERRA FOR
     
     System.out.printf("\n");
     } //CIERRA IMPRIME  
    
     }   // Cierra clase Eratostenes
    

    El código consta de dos archivos, uno con la clase principal, llamado UsaEratostenes.java y otro llamado Eratostenes.Java. Ambos deben guardarse con esos nombres. Si no sabe programar, o no conoce Java, no importa. Es solo un trabajo de calculadora. Lo que estamos haciendo es encontrar los números primos hasta cierto natural, identificado con el nombre Tamano_Arreglo, con el viejo algoritmo de la criba de Eratóstenes. A partir de ahí empezamos a contar desde el número 2 cuántos primos hay acumulados, exactamente lo que hicimos arriba, y luego graficamos. La siguiente figura muestra un análisis del primer millón de naturales, que contienen 78498 primos

    El comportamiento de los primos acumulados hasta el primer millón de naturales. 78498 son primos.


    Y de nuevo parece que los primos están distribuidos de manera que no hay acumulaciones de muchos de ellos en un intervalo corto de enteros, lo cual se vería reflejado en cambios abruptos de tipo escalón. Éste tipo de análisis los empezó a hacer el matemático alemán Karl Friedrich Gauss, con el pequeño inconveniente de que no tenía a su disposición una computadora. Así que los estudios de Gauss eran más bien tardados. Sin embargo, a cambio de una computadora, tenía uno de los cerebros más aptos para las matemáticas que ha dado la humanidad. Fue capaz de darse cuenta de lo siguiente:
    1) Entre los números 1 y 10 hay 4 primos, lo cual equivale, más o menos, a la mitad de todos los enteros contenidos en ese intervalo.
    2) Entre 1 y 100 hay 25 primos, lo cual equivale a 1/4 de los enteros en el conjunto.
    3) Entre 1 y 1000 hay 169 primos, lo cual equivale a 1/6 de los enteros
    4) Entre 1 y 10000 hay 1229, que equivalen, aproximadamente a 1/8 del total de enteros.
    5) Entre 1 y 100000 hay 9592 primos, que son aproximadamente 1/10
    6) Entre 1 y 1000000 hay 78498 primos, o 1/12.
    El problema con éste análisis, es que, incluso para 1 millón, no podemos decir que sea el comportamiento típico. Los números primos son infinitos.

     
  • hernandezgomez 9:10 pm el August 5, 2012 Permalink | Responder  

    Unas Teclas Especiales en la Calculadora 

    Las teclas de las calculadoras sirven para introducir números, realizar operaciones aritméticas, calcular funciones importantes, etc. La mayoría de las calculadoras contienen teclas con unas funciones básicas: x^{2}, sin(x), 1/x, etc. y la mayoría de esas funciones son aburridas. En un día de esos en los que no se tiene nada mejor qué hacer, podemos analizar el comportamiento “a largo plazo” de algunas de ellas, y ver si les sacamos algo de provecho:
    La Tecla x^{2}
    Vamos a suponer que tenemos la tecla x^{2} Se puede hacer el siguiente ejercicio. Iniciando con un valor arbitrario (digamos 0.5427) en el intervalo (0,1) vamos a iterar unas cuantas veces los resultados sucesivos. Esto es, se escribe en la calculadora el número 0.5427, y a continuación x^{2} varias veces. En caso de que la calculadora no tenga la tecla x^{2}, se puede obtener un resultado equivalente con X y luego =.
    El resultado de hacer esto, es que muy rápidamente veremos que las iteraciones se acercan y finalmente convergen al punto estable 0. De hecho, bastan unas 5 iteraciones.
    La tecla cos(x)
    Vamos a elegir ahora la tecla cos(x). Con esta tecla calculamos el coseno de un ángulo. Es importante que antes hayamos puesto nuestra calculadora en el modo Radianes. Elegimos un número arbitrario entre 0 y 1 y aplicamos la tecla sucesivamente a los valores que vayan apareciendo. Si lo hacemos unas cuantas veces, unas 30, observamos que este mapeo converge a un valor estable igual a 0.739085, como puede verse en la siguiente gráfica.

    La iteración de la función coseno converge rápidamente a el valor 0.739085. ¿Por qué?


    La Tecla tan(x)
    Tomemos ahora otra función trigonométrica, la tangente. Y vamos a hacer la misma rutina. Comenzamos con el número 0.5427 y presionamos la tecla tan(x). La pantalla presentará un valor y nosotros presionamos de nuevo tan(x), y lo hacemos así unas cuantas decenas de veces. ¿A qué valor convergen las iteraciones de la tangente? Supongamos que presionamos 40 veces la tecla de la tangente. Si graficamos los números obtenidos, veremos una figura parecida a la siguiente:

    Hasta las primeras 40 iteraciones, la función tangente parece converger a un número estacionario.


    Hay que admitir, de entrada, que esta serie tiene un comportamiento extraño. hasta la cuarta iteración, los números suben, pero en la quinta bajan, y a partir de la sexta, parecen establecerse alrededor de 0. Pero, ¿de verdad están acercándose a un número? Para responder a esta pregunta, podemos hacer un acercamiento a la figura anterior acotando un poco el eje de las Y.

    Un acercamiento a la gráfica anterior, muestra que la serie en realidad no está convergiendo.


    De hecho, la serie no está convergiendo. Esto se puede ver fácilmente si iteramos más veces, digamos, unas 4 mil. Sí, es mucho para hacerlo en una calculadora manual, pero se supone que tenemos mucho tiempo libre. Si almacenamos esos datos y los graficamos, vamos a obtener la siguiente figura:

    4000 iteraciones muestran que la función tangente no converge (al menos en esas primeras 4 mil), aunque presenta períodos de relativa estabilidad.


    No tenemos que hacerlo más veces. Es un hecho que ese mapeo no converge, aunque hay veces que parece realmente hacerlo, y se queda “estancado” cerca de un punto. Éste caso, nos deja la importante lección de que no todas las teclas de la calculadora caen a un sólo número. En tanto que x^{2} y cos(x) sí se acercan a un número, tan(x) no.
    La Tecla x^{2} - 1
    Bueno, nunca me he encontrado con una calculadora que tenga esta tecla, pero podemos crearla. Vamos ahora a construir la tecla x^{2} -1. Las calculadoras no incluyen esa función, por lo cual nosotros la construimos por medio de teclear X y =. Y vamos también a crear un ciclo de iteración empezando por un número contenido entr 0 y 1, de nuevo 0.5427. Es importante decir que ese es un número que a mi se me ha ocurrido y no tiene nada de especial; a alguien más se le puede ocurrir otro. Tampoco es que tenga mucha importancia el número de decimales, pero para poder ver cómo evoluciona la función, he tomado hasta los primeros 4 dígitos después del punto. Lo importante realmente es que sea un número comprendido entre 1 y 0, pero sin incluir a éstos. Este ciclo de iteración se puede hacer con la calculadora, siempre que se quiera dedicar unos minutos a la tarea de estar oprimiendo teclas.
    1) Escribimos 0.5427
    2) Tecleamos X e =
    3) tecleamos -1 e =
    4) Repetimos los pasos 2) y 3) muchas veces.
    Esa es la receta, pero ya que somos programadores, bien podemos escribir unas cuantas líneas de código para que el trabajo sea mínimo. El siguiente es un programa en el lenguaje C, pero el algoritmo se puede escribir fácilmente en cualquier otro.

    /*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
      *                                                    *
      * Este programa itera una <<tecla especial>> de la   *
      * calculadora.                                       *
      *                                                    *
      * +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
    
     /*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
      *                                                    *
      *                 ALGORITMO:                         *
      *  Mientras la variable n sea menor a N              *
      *  x(n+1) = k(x*x) - 1                               *
      *  incrementa n en uno                               *
      *++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
     
      #include <stdio.h>
      #define N 100
     
      int main()
      {     /*Abre main*/
      int k = 1; /*Esta variable se puede cambiar*/
      int n;  /* Variable contador */
      double x = 0.5427;
      
      for ( n = 1; n <= N; n++ )
      {  /* Abre for */
      x = k*x*x - 1;
      printf("%f\n", x);
      }  /* Cierra for */
    
      return 0; 
      }     /*Cierra main*/   
    

    Los resultados que arroja ese programa son los siguientes:

    -0.705477  -0.502303  -0.747692  -0.440957  -0.805557  -0.351077
    -0.876745  -0.231319  -0.946492  -0.104154  -0.989152  -0.021578
    -0.999534  -0.000931  -0.999999  -0.000002  -1.000000  -0.000000
    -1.000000   0.000000  -1.000000   0.000000   ...
    

    Tal vez no sea evidente a partir de la lista, pero los números presentan un comportamiento errático al principio, empiezan a oscilar y finalmente se establecen en 0 y -1. La siguiente gráfica muestra la evolución

    Para la aplicación x = x*x – 1, Iniciando con un número en (0,1), después de unas cuantas iteraciones, se llega a un par de puntos fijos: 0 y 1.


    La Tecla 2x^{2} -1
    Vamos construir una tecla más. Una muy parecida a la anterior. De hecho, lo único que cambia es el 2 que multiplica a x^{2}. Es de esperarse, por lo tanto, que su comportamiento a largo plazo sea parecido a x^{2} -1. Para esto, podemos usar el mismo programa que se presentó arriba. Basta con cambiar el valor de la variable k de 1 a 2. Después de 50 iteraciones, el resultado es el siguiente:

    A diferencia de x^{2} - 1, el mapeo 2x^{2} -1 no muestra ninguna regularidad.


    Esta iteración no converge a un punto, ni a dos. Tampoco muestra periodos de relativa regularidad, como tan(x). Podrían hacerse miles de iteraciones, y el resultado sería el mismo.

    Sensibilidad fuerte a las condiciones iniciales en el mapeo 2x^{2} - 1. Un par de puntos con una diferencia de 0.0001, divergen después de algunas iteraciones.


    Las dos últimas teclas muestran el comportamiento del mapeo kx^{2} - 1. La variación del parámetro k es lo que lo determina. Para x = 1, el resultado es el que hemos visto, se alcanza un par de ciclos límite. En cambio, para k = 2 el comportamiento es totalmente impredecible. Para k = 1.4, aparecen 16 ciclos, y para k = 1.5 no hay ninguno. Sin embargo, en k = 1.75 se obtienen 3 ciclos.
    Un profesor de mecánica, solía decir que los físicos con una teoría, son como niños con un objeto interesante. Cuando un niño se encuentra un objeto que le atrae, lo mira de frente, lo mira de lado, lo gira, etc. El objeto sigue siendo el mismo, pero su comprensión se facilita con todas esas perspectivas. Lo mismo hacen los físicos con las teorías. Para finales del siglo XVIII, la mecánica newtoniana había sido reformulada y reconstruida de distintas maneras. Ninguna nueva ley había sido descubierta, pero el conocimiento se había incrementado. Tan grande era la confianza y tan grande era su rango de aplicaciones, que el matemático francés, Pierre Simon, marqués de Laplace llegó a escribir una frase que desde entonces se hizo célebre:
    “Un ser inteligente, que en un instante dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la forman, y que fuera lo suficientemente inmenso como para poder analizar dichos datos, podría condensar en una única fórmula el movimiento de los objetos más grandes del universo y el de los átomos más ligeros: nada sería incierto para dicho ser, tanto el futuro como el pasado estarían presentes ante sus ojos”
    Ésta declaración tiene incluso implicaciones filosóficas, aunque esa es otra discusión. En realidad lo importante, es que el mundo mecánico del siglo XVIII era visto como un sistema de relojería. Todo el universo era un engranaje enorme, del cual podía saberse el pasado y el futuro, con tal de saber las condiciones iniciales y la ecuación que lo gobierna. Tuvo que llegar la mecánica cuántica más de un siglo después para acabar con éste optimismo. Si no somos capaces de dar certeza sobre un electrón, menos lo somos para hablar del universo. Y sin embargo, no es necesaria la mecánica cuántica para derribar esta visión de relojería.
    El estudio del comportamiento a largo plazo de las teclas de calculadora que hemos visto, y que en realidad son mapeos simples, dejan una lección muy importante: muestra que una ecuación sencilla, no necesariamente conduce a una dinámica sencilla. De hecho, el caso de las teclas tan(x) y kx^{2} - 1 son un par de ejemplos de sistemas caóticos, o más bien, de sistemas que presentan caos determinista, que es como los expertos prefieren denominarlo, para dejar claro, que, a pesar del nombre, algo de orden puede encontrarse en él. La función tan(x) llega al caos por una vía llamada intermitencia, en tanto que kx^{2} - 1 llega por una vía llamada duplicación de períodos, y el ejemplo más estudiado de él es el Mapeo Logístico. Sólo hace falta una ruta llamada crisis, de las cuales no se presenta un ejemplo.
    Tal vez la característica más conocida de un comportamiento caótico, sea la sensibilidad fuerte a las condiciones iniciales. Iniciar en un par de puntos muy cercanos, no garantiza que terminemos en puntos cercanos. La segunda figura de la Tecla 2x^{2} - 1 es una muestra de ésto. Aunque tal vez, la sensibilidad fuerte a condiciones iniciales sea mejor conocida como “efecto mariposa”: el aleteo de una mariposa en Brasil puede provocar un huracán en Florida. Y la imagen más conocida es la del atractor de Lorenz, el cual, como coincidencia, parecen las alas de una mariposa:

    El atractor de Lorenz


    Si usted tenía la idea de que las ecuaciones que predicen el comportamiento de los sistemas dinámicos eran, más o menos como una bola de cristal para ver el futuro, es bueno reconsiderar esa postura. El caos está saltando desde las teclas de su calculadora de bolsillo. Los modelos de población, los modelos económicos, los movimientos de la bolsa de valores, entre muchos otros fenómenos, presentan caos. El ecólogo Robert May dijo en un famoso artículo en 1976:
    “No sólo en investigación, sino en el mundo ordinario de la política y la economía, estaríamos mucho mejor si hubiese más gente que comprendiera que los sistemas simples no poseen necesariamente propiedades dinámicas simples”.

     
  • hernandezgomez 12:25 am el June 18, 2012 Permalink | Responder  

    Einstein Popular 

    Albert Einstein en su juventud.


    Es sabido que en el año de la formación de Israel como estado independiente, la presidencia del nuevo país le fue ofrecida al judío más famoso de la época, Albert Einstein. También es sabido que, con el gran tino político que sorprendentemente tuvo, Einstein agradeció el honor pero declinó la invitación. Lo que no es muy conocido, es que Ben-Gurión, el artífice de la independencia de Israel, comentó poco después: “Se la ofrecimos porque no teníamos otra opción, pero nos hubiera metido en un gran lío si hubiera aceptado”.

    Ésta anécdota probablemente sea falsa, pero retrata bien la personalidad del físico Alemán: estando un día en su casa, su esposa entró a su oficina y le dijo, el embajador de Israel está aquí y quiere verte. Al ver que Albert se disponía a recibir al diplomático con el  aspecto desaliñado de sus últimos años, la mujer lo reprendió, -deberías al menos cambiarte de ropa. Y el genio le contestó con una frase digna de Cristo, -dile al embajador que, si me quiere ver, aquí estoy; pero si quiere ver mi ropa, llévalo a mi closet.

    El célebre libro de Álgebra de Aurelio Baldor, en la semblanza de Einstein en el capítulo XXXIX contiene un par de errores que son universales:

    1)

    “recibió en 1921 el premio Nobel de física por sus trabajos acerca de la Teoría de la Relatividad”

    Esto es falso. Era imposible negarle el Nobel a Einstein, pero el comité se cuidó muy bien de no mencionar a la Relatividad en su sentencia. Incluso en esa fecha la teoría era debatida por muchos físicos y los de Estocolmo no quisieron meter la pata. El Nobel se lo dieron por sus trabajos acerca del movimiento browniano y el efecto fotoeléctrico, trabajos de 1905.
    2)

    “Trabajando con otros científicos de diversas nacionalidades en la universidad de Princeton logró la desintegración del átomo, base de la bomba atómica”.

    Y esta errata cuenta por tres. Popularmente se le ha hecho a Einstein el padre de la bomba atómica: Einstein trazó algunos garabatos en su cuaderno y de pronto se dió cuenta de que tenía la receta para la bomba. Pero lo cierto es que él no participó en los trabajos teóricos, y desde luego no en los experimentos, que condujeron a su construcción. Lo que hizo, y claro que no fue menor, fue escribir una carta al presidente Roosevelt de Estados Unidos, llamándolo a apoyar el proyecto de construcción de la bomba, mismo proyecto que los nazis encargaron al físico Werner Heisenberg. Tampoco es cierto que esos trabajos se realizaran en algún momento en Princeton. Se iniciaron en Chicago y se terminaron en Nuevo Mexico. Y por último, no es la desintegración del átomo la base de la bomba atómica, sino la desintegración del núcleo. Hay un mundo de energía entre alterar un átomo y alterar un núcleo, la misma distancia que hay entre la Edad Media y el siglo XX. A un físico nuclear amigo mio le gusta siempre aclarar por qué los alquimistas estaban en busca de un imposible. Transmutar cualquier sustancia en oro requería alterar los núcleos atómicos, y las energías que se requieren están más allá de las energías de las reacciones químicas que sólo alteran la última capa de electrones del átomo.

    Ésta historia es verdadera y el protagonista es el dramaturgo irlandés George Bernard Shaw, sin embargo, el imaginario popular ha sustituído a Shaw, un escritor que vió mermada su fama con su muerte y hoy es poco leído, por el arquetipo universal del genio, Albert Einstein: Una bailarina muy guapa se acerca a Einstein y le dice, maestro, cásese conmigo. Soy indudablemente la mujer más bella del mundo y usted es el hombre más inteligente. Juntos tendremos hijos muy guapos y muy inteligentes. Sin embargo el genio replica, mejor no intentamos el experimento, ¡qué tal que los pobres niños heredan la belleza del padre y la inteligencia de la madre!.

    Y ésta la he escuchado hasta del mismo Michio Kaku: El viejo Einstein estaba cansado de dar siempre la misma conferencia en todas partes. Las preguntas también eran las mismas de siempre. Lamentándose un día de tener que hacer esa rutina, su chofer lo escuchó y le propuso cambiar papeles, él daría las pláticas y Einstein conduciría; después de todo, el chofer ya conocía también de memoria toda la conferencia. Y así lo hicieron. El chofer se puso el viejo suéter, se desarregló un poco el cabello; el físico se puso un gorro y juntos visitaron varios lugares donde todo fue bastante bien. Hasta que en una universidad un matemático muy bueno hizo una pregunta bastante complicada. Se acabó la farsa, pensó Einstein, ya nos descubrieron. Y sin embargo el chofer resultó más agudo. Mire usted, joven, le dijo al matemático poniendo cara solemne, esa pregunta que usted acaba de hacerme es tan fácil que incluso mi chofer, aquí presente, es capaz de contestarla por mi.

    Hay personajes en los que la verdad y el mito se funden de manera casi indistinguible. Mil y un historias como éstas circulan hoy. Ningún historiador, sin una fuente “confiable”, las daría por buenas. Y sin embargo la gente común, a la cual la figura caricaturesca de Einstein siempre le ha parecido simpática, no necesita fuentes para hacerlas contar una y otra vez. Hablando de Pancho Villa, Paco Ignacio Taibo II dice que todas esas leyendas son sacadas a patadas de la historia, pero también advierte que, aunque puede no ser cierta, nadie tiene la leyenda si no se la merece. Einstein la merece.

     
  • hernandezgomez 8:08 pm el March 16, 2012 Permalink | Responder  

    Caos Cuántico 

    Un problema subyacente en el nacimiento de la mecánica cuántica es el cómo se relaciona ésta con la mecánica clásica. En una pregunta ¿Es la mecánica clásica un caso especial (límite macroscópico para los humanos) de la mecánica cuántica? Supongo, y esta es una manera de meterme en problemas, que la mayoría de los físicos dirá que sí, o que al menos  “así debería ser”. Suponiendo que esto fuera cierto, ¿Cuál es la receta para obtener este límite? Hacer que n tienda a infinito, o hacer que  h sea cero, son dos respuestas comunes. Pero, ¿son equivalentes estos dos límites? Desconozco las respuestas a estas preguntas y sólo las presento como un problema inicial con el que uno se encuentra cuando trata de estudiar el caos cuántico. El caos cuántico estudia los problemas que en su versión clásica son caóticos. Hay varias aproximaciones al tema. En particular aquí se discutirán dos, el método de aproximación estadística mediante la teoría de matrices aleatorias (RMT) y el método de las trayectorias clásicas de Gutzwiller.

     
    • jarmvel 12:58 pm el marzo 17, 2012 Permalink | Responder

      Siempre que veo tus entradas de este tipo, me dan ganas de aprender más y más. :)

    • Bad88 8:10 pm el marzo 25, 2012 Permalink | Responder

      interesante señor

    • Anónimo 10:43 pm el julio 28, 2012 Permalink | Responder

      me recordaste a alguien

  • hernandezgomez 5:27 pm el January 15, 2012 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 6 

    La matriz \sigma_{x} está definida por

    \sigma_{x} = \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end {pmatrix}

    pruebe la relación:

    e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i \sigma_{x} sin \alpha

    donde  1 es la matriz unidad de 2×2.

    Solución:

    Es conveniente recordar lo siguiente:

    e^{x} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ...  ………………………….(1)

    sinx = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ...   ……………………….(2)

    cosx = \frac{1}{1!} - \frac{2}{2!} + \frac{4}{4!} - ...      ……………………..(3)

    También \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix}1&\ 0 \\ 0 &\ 1\end{pmatrix} para n par y \begin{pmatrix}0 &\ 1 \\ 1 &\ 0 \end{pmatrix} para n impar        …………….. (4)

    Usando la primera relación

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + ...

    y separando las sumas con exponentes pares e impares

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{4}}{4!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{6}}{6!} + ...

    + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{5}}{5!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{7}}{7!} + ...

    y usando la relación (4) la suma anterior se vuelve

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = 1 + \frac{(i)^{2}(\alpha )^{2}(1)}{2!} + \frac{(i)^{4}(\alpha)^{4}( 1)}{4!} + \frac{((i)^{6}(\alpha)^{6} (1)}{6!} + ...

    + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!}\frac{(i)^{3}(\alpha)^{3}}{3!} + \frac{(i)^{5}(\alpha)^{5}}{5!} – …

    y usando (2) y (3)

    e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i\sigma_{x}sin\alpha

     
  • hernandezgomez 10:39 pm el January 14, 2012 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 5 

    Sea P_{1} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{1} y P_{2} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{2}. Muestre que, para el producto P_{1}P_{2} sea también un proyector ortogonal, es necesario y suficiente que P_{1} y P_{2} conmuten. En este caso, ¿cuál es el subespacio al cual P_{1}P{2} proyecta?

    Solución:

    Para que P = P_{1}P_{2} sea un proyector es necesario y suficiente que P = P^{\dagger} o P_{1}P_{2} = P_{2}P{1}

    Así pues, se requiere y basta que P_{1} conmute con P_{2}

    El operador P = P_{1}P_{2} primero proyecta en el espacio \epsilon_{2} y a continuación proyecta al subespacio \epsilon_{1} Como los proyectores son ortogonales, la proyección final es 0.

     
  • hernandezgomez 12:12 am el November 21, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 4 

    Sea el operador k definido por k = |\phi\rangle\langle\psi| don de |\phi\rangle y |\psi\rangle son dos vectores del espacio de estado..

    a) ¿Bajo qué condiciones es K hermitiano?

    k es hermitiano \Leftrightarrow k = k^{\dagger}

    b) Calcule k^{2}. ¿Bajo qué condiciones es k un proyector?

    k^{2} = |\phi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\psi|

    De donde k^{2} es un proyector si \langle\psi|\psi\rangle = 1

    y además |\phi\rangle = |\psi\rangle

    c) Muestre que k siempre puede ser escrito en la forma k = \lambda P_{1}P_{2} donde \lambda es una constante por determinar y P_{1} y P_{2} son proyectores.

    k = |\phi\rangle\langle\psi| = |\phi\rangle\left( \frac{\langle\phi|\psi\rangle}{\langle\phi|\psi\rangle}\right)\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle} |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle}P_{1}P_{2}

    donde P_{\psi} es el proyector en el subespacio generado por | \psi\rangle y P_{\phi} es el proyector en el subespacio generado por |\phi\rangle

     
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