Actualizaciones de enero, 2012 Mostrar/Ocultar Comentarios | Atajos de teclado

  • hernandezgomez 5:27 pm el January 15, 2012 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 6 

    La matriz \sigma_{x} está definida por

    \sigma_{x} = \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end {pmatrix}

    pruebe la relación:

    e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i \sigma_{x} sin \alpha

    donde  1 es la matriz unidad de 2×2.

    Solución:

    Es conveniente recordar lo siguiente:

    e^{x} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ...  ………………………….(1)

    sinx = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ...   ……………………….(2)

    cosx = \frac{1}{1!} - \frac{2}{2!} + \frac{4}{4!} - ...      ……………………..(3)

    También \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix}1&\ 0 \\ 0 &\ 1\end{pmatrix} para n par y \begin{pmatrix}0 &\ 1 \\ 1 &\ 0 \end{pmatrix} para n impar        …………….. (4)

    Usando la primera relación

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + ...

    y separando las sumas con exponentes pares e impares

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{4}}{4!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{6}}{6!} + ...

    + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{5}}{5!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{7}}{7!} + ...

    y usando la relación (4) la suma anterior se vuelve

    e^{i \alpha \sigma_{x}} = 1 + \frac{(i)^{2}(\alpha )^{2}(1)}{2!} + \frac{(i)^{4}(\alpha)^{4}( 1)}{4!} + \frac{((i)^{6}(\alpha)^{6} (1)}{6!} + ...

    + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!}\frac{(i)^{3}(\alpha)^{3}}{3!} + \frac{(i)^{5}(\alpha)^{5}}{5!} – …

    y usando (2) y (3)

    e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i\sigma_{x}sin\alpha

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  • hernandezgomez 10:39 pm el January 14, 2012 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 5 

    Sea P_{1} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{1} y P_{2} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{2}. Muestre que, para el producto P_{1}P_{2} sea también un proyector ortogonal, es necesario y suficiente que P_{1} y P_{2} conmuten. En este caso, ¿cuál es el subespacio al cual P_{1}P{2} proyecta?

    Solución:

    Para que P = P_{1}P_{2} sea un proyector es necesario y suficiente que P = P^{\dagger} o P_{1}P_{2} = P_{2}P{1}

    Así pues, se requiere y basta que P_{1} conmute con P_{2}

    El operador P = P_{1}P_{2} primero proyecta en el espacio \epsilon_{2} y a continuación proyecta al subespacio \epsilon_{1} Como los proyectores son ortogonales, la proyección final es 0.

     
  • hernandezgomez 12:12 am el November 21, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 4 

    Sea el operador k definido por k = |\phi\rangle\langle\psi| don de |\phi\rangle y |\psi\rangle son dos vectores del espacio de estado..

    a) ¿Bajo qué condiciones es K hermitiano?

    k es hermitiano \Leftrightarrow k = k^{\dagger}

    b) Calcule k^{2}. ¿Bajo qué condiciones es k un proyector?

    k^{2} = |\phi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\psi|

    De donde k^{2} es un proyector si \langle\psi|\psi\rangle = 1

    y además |\phi\rangle = |\psi\rangle

    c) Muestre que k siempre puede ser escrito en la forma k = \lambda P_{1}P_{2} donde \lambda es una constante por determinar y P_{1} y P_{2} son proyectores.

    k = |\phi\rangle\langle\psi| = |\phi\rangle\left( \frac{\langle\phi|\psi\rangle}{\langle\phi|\psi\rangle}\right)\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle} |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle}P_{1}P_{2}

    donde P_{\psi} es el proyector en el subespacio generado por | \psi\rangle y P_{\phi} es el proyector en el subespacio generado por |\phi\rangle

     
  • hernandezgomez 8:10 pm el November 20, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 3 

    Ejercicio 5 El espacio de estados de cierto sistema físico es tridimensional.  Sea |u_{1} \rangle, |u_{2}\rangle, |u_{3}\rangle, una base otrnormal de este estado. Los kets |\phi_{0}\rangle y |\phi_{1}\rangle son definidos por

    |\phi_{0}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|u_{1}\rangle + \frac{i}{2}|u_{2}\rangle + \frac{1}{2}|u_{3}\rangle

    |\phi_{1}\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|u_{1}\rangle + \frac{i}{\sqrt{3}}|u_{3}\rangle

    a) ¿Están normalizados los kets?

    Para ver si los kets están normalizados, es necesario encontrar el producto interno

    \langle\phi_{0}|\phi_{0}\rangle = (\frac{1}{\sqrt{2}}  – \frac{i}{2}   \frac{1}{2}) \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) = 1

    Así pues, el ket |\phi_{0}\rangle está normalizado.

    En tanto que

    \langle\phi_{1}|\phi_{1}\rangle = (\frac{1}{\sqrt{3}}  – \frac{i}{\sqrt{3}}) \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{i}{\sqrt{3}} \end{array}\right ) = 2/3

    Por lo cual |\phi_{1}\rangle  no está normalizado.

    b) Calcule las matrices \rho_{0}  y \rho_{1}que representan, en la base |u_{1}\rangle|u_{2}\rangle , u_{3}\rangle los operadores de proyección en los estados \phi_{0}\rangle y \phi_{1}. Verifique que esas matrices son hermitianas.

    El proyector en el estado \phi_{0}\rangle  se obtiene por

    P_{0} = |\phi_{0}\rangle \langle\phi_{0}|

    \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) (\frac{1}{\sqrt{2}}  – \frac{i}{2}   \frac{1}{2})

    P_{0} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&\frac{-i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{i}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

    y calculándolo de la misma manera, se tiene que

    P_{1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&\ 0 &\ -i \\ 0 &\ 0 &\ 0\\ i & 0 & 1 \end{pmatrix}

    Ambas matrices son hermitianas, como se puede comprobar intercambiando filas por columnas conjugadas.

     
  • hernandezgomez 11:25 pm el September 13, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 2 

    Ejercicio 2. En un espacio vectorial bidimensional, considere el operador cuya matriz, en una base ortonormal {|1\rangle, |2\rangle}, es escrita :

    \sigma_{y} = \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)

    a. ¿Es \sigma_{y} hermitiana? Calcule sus eigenvalores y eigenvectores (dando su expansión normalizada en términos de  la base {|1\rangle, |2\rangle}.

    b Calcule las matrices que representan los proyectores en esos eigenvectores. Verifique que satisfacen las relaciones de ortogonalidad y clausura.

    c Lo mismo para las matrices:

    M = \left(\begin{array}{cc}2&i\sqrt{2}\\-i\sqrt{2}&3 \end{array}\right)

    L_{y} = \frac{\hbar}{2i} \begin{pmatrix}0&\sqrt{2}&0\\ -\sqrt{2}&0&\sqrt{2}\\ 0&-\sqrt{2}&0\end{pmatrix}

    Solución:

    a. La matriz es herminitana, ya que al tomar los complejos conjugados e intercambiar filas por columnas, se obtiene la misma matriz.

    Por medio de la siguiente igualdad se encuentran los eigenvalores y eigenvectores de la matriz:

    \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \lambda\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)                                (1)

    Desde luego, esto se convierte en un sistema de dos ecuaciones :

    0 -iy = \lambda x                                                    (2)

     ix + 0y = \lambda y                                               (3)

    o, lo que es lo mismo

    -iy = \lambda x                                                          (4)

    ix = \lambda y                                                           (5)

    y este par de ecuaciones combinadas produce la ecuación de segundo grado con \lambda como incógnita.

    \lambda^{2} = 1                                                         (6)

    Por lo tanto los eigenvalores de la matriz son \lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1

    Sustituyendo el valor 1 para \lambda se encuentra el primer eigenvector:

    \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)                                                      (7)

    esta ecuación se transforma en un par de igualdades

    -iy = x                                                                            (8)

    ix = y                                                                               (9)

    despejando x de (9) se obtiene x = \frac{1}{i}y e igualando con (8), se obtiene que y es un parámetro y x está dado en términos de ese parámetro,

    x = -it , y = t                                                   (10)

    Así pues, el vector \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)  se puede escribir como

    \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = t\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)

    Ese parámetro tiene que ser tal que el vector sea unitario, lo cual conduce a obtener

    \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)                                                               (11)

    el cual es el primer eigenvector de la matriz

    Sustituyendo ahora el valor

    \lambda = -1 se obtiene la siguiente ecuación matricial

    \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-x\\-y\end{array}\right)                                                          (12)

    que conduce al par de ecuaciones

    -iy = -x                                                                                           (13)

    ix = -y                                                                                             (14)

    (13) implica que x= iy , en tato que (14) implica que x = -\frac{1}{i}y

    y queda entonces como parámetro y el segundo eigenvector puede escribirse como

    \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = s\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)                              (15)

    para normalizarlo, el parámetro se convierte en \frac{1}{ \sqrt{2}} , y (15) se escribe como

    \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)                               (16)

    el cual es el segundo eigenvector de la matriz.

    b

    y con (11) y (16) escritos de manera más conveniente como |\phi_{1}\rangle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right) y  |\phi_{2}\rangle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)

     
  • hernandezgomez 2:05 am el September 13, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 1 

    Notación de Dirac. Conmutadores. Eigenvectores y eigenvalores.

    Ejercicio 1|\phi_{n}\rangle son los eigenestados de un operador hermitiano H (H es, por ejemplo, el Hamiltoniano de un sistema físico arbitrario). Asuma que los estados |\phi_{n}\rangle forman una base ortonormal discreta. El operador U(m,n) se define como:

    U(m,n) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

    a. Calcule el adjunto U^\dagger(m,n) de U(m,n).

    b. Calcule el conmutador [H, U(m,n)]

    c. Pruebe la relación :

    U(m,n)U^\dagger(p,q) = \delta_{nq}U(m,p)

    d. Calcule Tr{ U(m,n) }, la traza del operador U(m,n)

    e. Sea A un operador,  con elementos de matriz  A_{m.n} = \langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle. Pruebe la relación

    A = \sum_{m,n}A_{m.n}U(m,n)

    f. Muestre que: A_{pq} = Tr{AU^\dagger(p,q)}

    Solución.

    a. Es directo, el adjunto se obtiene cambiando bras por kets y kets por bras; y se cambian las posiciones.

    U(m,n)^\dagger = |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{m}|

    b.  Éste también es un ejercicio sencillo.

    [H, U(m,n)] = H|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|H

    = a_{m}\langle\phi_{n}|a_{n}|\phi_{m}\rangle

    c.  Este también consiste en jugar  un poco con los operadores

    U(m,n)U^\dagger(p,q) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|

    = |\phi_{m}\rangle\delta_{nq}\langle\phi_{p}|

    = \delta_{nq}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{p}|

    = \delta_{nq}U(m,p)

    d

    e  Partiendo de que,

    \langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle = A_{mn}

    y haciendo actuar |\phi_{m}\rangle y \langle \phi_{n}| en ambos lados de esa igualdad, tenemos:

    |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \langle\phi_{m}| A|\phi_{n}\rangle

    Y sumando sobre m y n en ambos lados,

    \sum_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}\langle\phi_{m} |A|\phi_{n}\rangle

    \sum_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\sum_{n}|\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}|\phi_{m}\langle A|\phi_{n}\rangle|

    Pero las sumatorias del lado izquierdo son relaciones de clausura, por lo tanto se sustituye el valor de uno,

    A = \sum_{mn}A_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

    Sustituyendo el valor de U(mn) se obtiene el resultado final

    A = \sum_{mn}A_{mn}U(m,n)

    f. Aquí empezamos por el lado derecho

    Tr{AU^\dagger(p,q)}

    = Tr{A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}}|

    = \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|\phi_{i}\rangle

    = \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\delta_{pi}

    = \sum_{i}A_{iq}\delta_{pi}

    = A_{pq}

     
    • Favio Vázquez 2:21 pm el julio 9, 2012 Permalink | Responder

      En la parte d) es muy sencillo, solo tienes que aplicar lo que hiciste en la parte f) a U(m,n), y te da la sumatoria en i de dos deltas de kronecker en im y ni.

      En la parte e) hay un poco de confusión en los primeros pasos, siempre en la derecha serán los índices de A mn. Luego no cambies los bra y kets sino que dejalos como estan |Qm><Qn| en el lado derecho que eso te da directamente U(m,n).

      Pero muy bien, gracias.

      • hernandezgomez 5:38 pm el julio 11, 2012 Permalink | Responder

        Hola, Favio. Gracias por tu comentario. En realidad creo que me cansé de teclear la solución, pero qué bueno que lo escribes.
        Muchos saludos.

        • Laura 8:03 pm el mayo 23, 2015 Permalink

          Hola Favio muchas gracias por toda esta información,, no tendras notas del ejercicio 7 por favor

  • hernandezgomez 1:33 am el September 13, 2011 Permalink | Responder
    Etiquetas: Cohen-Tannoudji   

    Cohen-Tannoudji Ejercicios Resueltos 

    Como para no olvidarme de la mecánica cuántica he decidido teclear los ejercicios del libro clásico Quantum Mechanics, de Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu y Frank Laloë.  Este libro es bastante conocido y usado, y sus ejercicios se encuentran fácilmente en internet. De todas formas, a mí me sirve resolverlos otra vez por mi cuenta, esta vez sin que se me pierdan, como sucede cuando se capturan en papel. Empezaré por el capítulo dos y continuaré en cuanto tenga tiempo. Sobra decirlo, pero es importante: NO garantizo que los problemas estén bien.

     

    Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics

     
    • César Aguillón 7:47 pm el septiembre 11, 2013 Permalink | Responder

      Hola

      Dices que es fácil encontrar los ejercicios por internet sin embargo no puedo encontrarlos podrías ayudarme y decirme donde buscar (complentos VI, VII y X) te lo agradeceré mucho.

      Saludos

      • hernandezgomez 8:39 pm el septiembre 11, 2013 Permalink | Responder

        ¡Hola, César! Tal vez fui demasiado optimista, el caso es que supuse que es fácil. Buscando encuentro ésto: http://www.srequena.com/physics-solutions/ que desgraciadamente no contiene los que tú quieres. He buscado en inglés pero no he encontrado más. Si encuentras algo avísame, por favor. ¡Saludos!

        • Justin 11:42 am el diciembre 11, 2016 Permalink

          Hola HernandezGomez… tienes por algun sitio las soluciones a los otros capitulos del Cohen? Gracias

      • Adalberto Chong 6:21 pm el agosto 25, 2015 Permalink | Responder

        Hola César, oye has podido encontrar las soluciones de los problemas que solicitaste. Por cierto ¿estudias el posgrado en la uva?

        Saludos

        • César Aguillón 6:31 pm el agosto 25, 2015 Permalink

          ¡Hola, Adalberto! Jamás los encontré, solo algunos problemas de esos complementos, sin embargo con soluciones plagadas de errores. Ya los he resuelto por mi cuenta y los ha revisado un colega de Bariloche. Los tengo en latex, si querés, mandame un correo con tus dudas para poderte ayudar.

          PD. Estudié el doctorado en la UBA e impartí el curso de Mecánica Cuántica un par de veces. ¿Vos sos estudiante? ¿ Quién es tu responsable?

      • rodrigo piera 4:39 pm el junio 7, 2016 Permalink | Responder

        Buenas, ya se que pso un poco el tiempo, pero espero que conserves la misma cuenta… tenes los resultados? yo estoy interesado!

    • miguel 7:47 pm el noviembre 24, 2013 Permalink | Responder

      si.. te pasaste.. son bien dificiles de encotrar

    • karen 3:15 pm el abril 18, 2016 Permalink | Responder

      Hola, hace poco termine el pregrado… pero me resulta de interés la mecánica cuántica… si fueras tan amable y me compartieras los ejercicios.

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