Actualizaciones de enero, 2014 Mostrar/Ocultar Comentarios | Atajos de teclado

  • hernandezgomez 3:48 pm el January 27, 2014 Permalink | Responder  

    Uri Alon: Cómo elegir un buen problema científico 

    Todos los científicos eligen problemas a los cuales les dedican sus esfuerzos: desde un proyecto posdoctoral de un año hasta la vida académica entera. Con lo importante del tema es difícil encontrar consejos acerca de qué hacer y cómo elegir tema de investigación. Uri Alon, un biólogo muy exitoso que tiene su laboratorio en el Instituto Weizmann, en Israel, escribió un artículo muy útil (1) en el que expone buenos argumentos que se resumen en tres consejos:

    1) Tome tiempo antes de decidir.
    2) Elija el tema que es más factible y más conveniente para usted.
    3) Sea flexible y no se obsesione con un resultado.

    1) Tome tiempo antes de decidir. Los investigadores científicos son personas muy presionadas. Generalmente viven con uno o varios deadlines en la cabeza al final de los cuales tienen que entregar resultados (tesis, artículos, grados académicos) para conservar la beca que los sustenta. Por ésta razón es muy difícil para muchos seguir este consejo. Alon recomienda tres meses de reflexiones, pláticas, consultas y demás análisis antes de iniciar. Esto, aunque parezca paradójico, puede ahorrar mucho tiempo en el futuro.

    2) Elija el tema que es más factible y más conveniente para usted.
    Factibilidad

    La figura muestra unos ejes coordenados. los cuales evalúan, en el lado horizontal, la dificultad con la que se obtienen resultados en ciencias y en el lado vertical la importancia que puedan tener dichos resultados. El autor recuerda, por si a alguien no le ha quedado claro ya, que un problema que en el papel parece fácil en los hechos suele ser difícil, y que los problemas que en el papel parecen muy difíciles, en la práctica resultan imposibles, a lo cual se puede agregar la ley de Hofstadter: “Todo lleva más tiempo que el esperado, incluso si tienes en cuenta La Ley de Hofstadter”. Un investigador joven empieza, o debería empezar, su carrera en la esquina inferior derecha, investigando problemas que son poco trascendentes pero con una dificultad mínima, para ir subiendo poco a poco en dificultad y ambiciones. La curva ideal de crecimiento no es una línea recta, el punto propuesto por Alon para una estancia posdoctoral es la esquina superior derecha: un problema fácil con gran trascendencia, debido a que el tiempo y la los recursos son limitados. Los problemas difíciles y de gran importancia, que normalmente requieren de la participación de todo un grupo de investigación, de muchos años y experimentos complejos son emprendidos por científicos líderes y consagrados en su área. ¿Cómo saber cuales son esos problemas de gran trascendencia? Aquellos que respondan a las preguntas que continuamente aparecen en la mente del investigador. No vale investigar temas sólo porque están de moda. Ante esta cuestión, Alon plantea una pregunta que debería responderse con toda sinceridad: ¿Cuál sería su tema de investigación si usted fuera la única persona sobre la tierra?

    3) Sea flexible y no se obsesione con un resultado.
    Recorrido

    Investigar un problema científico no es un proceso directo. Obsesionarse con un resultado puede hacer imposible advertir las oportunidades que se presentan en el camino. Al iniciar una investigación es aconsejable abrirse un panorama amplio y probar distintos caminos hacia nuestra meta final. Es posible que en dicho proceso aparezca un problema mejor colocado en el diagrama de factibilidad. La figura de arriba muestra el proceso de investigación mal concebido: ir en línea recta de A a B. Probablemente esto sea cierto en el mundo platónico de las ideas, pero no en la realidad. La siguiente gráfica muestra un camino hacia B que finalmente no alcanza esa meta, sino que se desvía hacia el punto más interesante C. Esta habilidad de cambiar sobre la marcha, nos advierte Alon, es muy importante para evitar sufrimientos y decepciones durante la investigación.

    (1) Alon, How To Choose a Good Scientific Problem, Molecular Cell (2009)DOI 10.1016/j.molcel.2009.09.013

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  • hernandezgomez 12:25 am el June 18, 2012 Permalink | Responder  

    Einstein Popular 

    Albert Einstein en su juventud.


    Es sabido que en el año de la formación de Israel como estado independiente, la presidencia del nuevo país le fue ofrecida al judío más famoso de la época, Albert Einstein. También es sabido que, con el gran tino político que sorprendentemente tuvo, Einstein agradeció el honor pero declinó la invitación. Lo que no es muy conocido, es que Ben-Gurión, el artífice de la independencia de Israel, comentó poco después: “Se la ofrecimos porque no teníamos otra opción, pero nos hubiera metido en un gran lío si hubiera aceptado”.

    Ésta anécdota probablemente sea falsa, pero retrata bien la personalidad del físico Alemán: estando un día en su casa, su esposa entró a su oficina y le dijo, el embajador de Israel está aquí y quiere verte. Al ver que Albert se disponía a recibir al diplomático con el  aspecto desaliñado de sus últimos años, la mujer lo reprendió, -deberías al menos cambiarte de ropa. Y el genio le contestó con una frase digna de Cristo, -dile al embajador que, si me quiere ver, aquí estoy; pero si quiere ver mi ropa, llévalo a mi closet.

    El célebre libro de Álgebra de Aurelio Baldor, en la semblanza de Einstein en el capítulo XXXIX contiene un par de errores que son universales:

    1)

    “recibió en 1921 el premio Nobel de física por sus trabajos acerca de la Teoría de la Relatividad”

    Esto es falso. Era imposible negarle el Nobel a Einstein, pero el comité se cuidó muy bien de no mencionar a la Relatividad en su sentencia. Incluso en esa fecha la teoría era debatida por muchos físicos y los de Estocolmo no quisieron meter la pata. El Nobel se lo dieron por sus trabajos acerca del movimiento browniano y el efecto fotoeléctrico, trabajos de 1905.
    2)

    “Trabajando con otros científicos de diversas nacionalidades en la universidad de Princeton logró la desintegración del átomo, base de la bomba atómica”.

    Y esta errata cuenta por tres. Popularmente se le ha hecho a Einstein el padre de la bomba atómica: Einstein trazó algunos garabatos en su cuaderno y de pronto se dió cuenta de que tenía la receta para la bomba. Pero lo cierto es que él no participó en los trabajos teóricos, y desde luego no en los experimentos, que condujeron a su construcción. Lo que hizo, y claro que no fue menor, fue escribir una carta al presidente Roosevelt de Estados Unidos, llamándolo a apoyar el proyecto de construcción de la bomba, mismo proyecto que los nazis encargaron al físico Werner Heisenberg. Tampoco es cierto que esos trabajos se realizaran en algún momento en Princeton. Se iniciaron en Chicago y se terminaron en Nuevo Mexico. Y por último, no es la desintegración del átomo la base de la bomba atómica, sino la desintegración del núcleo. Hay un mundo de energía entre alterar un átomo y alterar un núcleo, la misma distancia que hay entre la Edad Media y el siglo XX. A un físico nuclear amigo mio le gusta siempre aclarar por qué los alquimistas estaban en busca de un imposible. Transmutar cualquier sustancia en oro requería alterar los núcleos atómicos, y las energías que se requieren están más allá de las energías de las reacciones químicas que sólo alteran la última capa de electrones del átomo.

    Ésta historia es verdadera y el protagonista es el dramaturgo irlandés George Bernard Shaw, sin embargo, el imaginario popular ha sustituído a Shaw, un escritor que vió mermada su fama con su muerte y hoy es poco leído, por el arquetipo universal del genio, Albert Einstein: Una bailarina muy guapa se acerca a Einstein y le dice, maestro, cásese conmigo. Soy indudablemente la mujer más bella del mundo y usted es el hombre más inteligente. Juntos tendremos hijos muy guapos y muy inteligentes. Sin embargo el genio replica, mejor no intentamos el experimento, ¡qué tal que los pobres niños heredan la belleza del padre y la inteligencia de la madre!.

    Y ésta la he escuchado hasta del mismo Michio Kaku: El viejo Einstein estaba cansado de dar siempre la misma conferencia en todas partes. Las preguntas también eran las mismas de siempre. Lamentándose un día de tener que hacer esa rutina, su chofer lo escuchó y le propuso cambiar papeles, él daría las pláticas y Einstein conduciría; después de todo, el chofer ya conocía también de memoria toda la conferencia. Y así lo hicieron. El chofer se puso el viejo suéter, se desarregló un poco el cabello; el físico se puso un gorro y juntos visitaron varios lugares donde todo fue bastante bien. Hasta que en una universidad un matemático muy bueno hizo una pregunta bastante complicada. Se acabó la farsa, pensó Einstein, ya nos descubrieron. Y sin embargo el chofer resultó más agudo. Mire usted, joven, le dijo al matemático poniendo cara solemne, esa pregunta que usted acaba de hacerme es tan fácil que incluso mi chofer, aquí presente, es capaz de contestarla por mi.

    Hay personajes en los que la verdad y el mito se funden de manera casi indistinguible. Mil y un historias como éstas circulan hoy. Ningún historiador, sin una fuente “confiable”, las daría por buenas. Y sin embargo la gente común, a la cual la figura caricaturesca de Einstein siempre le ha parecido simpática, no necesita fuentes para hacerlas contar una y otra vez. Hablando de Pancho Villa, Paco Ignacio Taibo II dice que todas esas leyendas son sacadas a patadas de la historia, pero también advierte que, aunque puede no ser cierta, nadie tiene la leyenda si no se la merece. Einstein la merece.

     
  • hernandezgomez 12:12 am el November 21, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 4 

    Sea el operador k definido por k = |\phi\rangle\langle\psi| don de |\phi\rangle y |\psi\rangle son dos vectores del espacio de estado..

    a) ¿Bajo qué condiciones es K hermitiano?

    k es hermitiano \Leftrightarrow k = k^{\dagger}

    b) Calcule k^{2}. ¿Bajo qué condiciones es k un proyector?

    k^{2} = |\phi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\psi|

    De donde k^{2} es un proyector si \langle\psi|\psi\rangle = 1

    y además |\phi\rangle = |\psi\rangle

    c) Muestre que k siempre puede ser escrito en la forma k = \lambda P_{1}P_{2} donde \lambda es una constante por determinar y P_{1} y P_{2} son proyectores.

    k = |\phi\rangle\langle\psi| = |\phi\rangle\left( \frac{\langle\phi|\psi\rangle}{\langle\phi|\psi\rangle}\right)\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle} |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|

    \frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle}P_{1}P_{2}

    donde P_{\psi} es el proyector en el subespacio generado por | \psi\rangle y P_{\phi} es el proyector en el subespacio generado por |\phi\rangle

     
  • hernandezgomez 2:05 am el September 13, 2011 Permalink | Responder  

    Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 1 

    Notación de Dirac. Conmutadores. Eigenvectores y eigenvalores.

    Ejercicio 1|\phi_{n}\rangle son los eigenestados de un operador hermitiano H (H es, por ejemplo, el Hamiltoniano de un sistema físico arbitrario). Asuma que los estados |\phi_{n}\rangle forman una base ortonormal discreta. El operador U(m,n) se define como:

    U(m,n) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

    a. Calcule el adjunto U^\dagger(m,n) de U(m,n).

    b. Calcule el conmutador [H, U(m,n)]

    c. Pruebe la relación :

    U(m,n)U^\dagger(p,q) = \delta_{nq}U(m,p)

    d. Calcule Tr{ U(m,n) }, la traza del operador U(m,n)

    e. Sea A un operador,  con elementos de matriz  A_{m.n} = \langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle. Pruebe la relación

    A = \sum_{m,n}A_{m.n}U(m,n)

    f. Muestre que: A_{pq} = Tr{AU^\dagger(p,q)}

    Solución.

    a. Es directo, el adjunto se obtiene cambiando bras por kets y kets por bras; y se cambian las posiciones.

    U(m,n)^\dagger = |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{m}|

    b.  Éste también es un ejercicio sencillo.

    [H, U(m,n)] = H|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|H

    = a_{m}\langle\phi_{n}|a_{n}|\phi_{m}\rangle

    c.  Este también consiste en jugar  un poco con los operadores

    U(m,n)U^\dagger(p,q) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|

    = |\phi_{m}\rangle\delta_{nq}\langle\phi_{p}|

    = \delta_{nq}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{p}|

    = \delta_{nq}U(m,p)

    d

    e  Partiendo de que,

    \langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle = A_{mn}

    y haciendo actuar |\phi_{m}\rangle y \langle \phi_{n}| en ambos lados de esa igualdad, tenemos:

    |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \langle\phi_{m}| A|\phi_{n}\rangle

    Y sumando sobre m y n en ambos lados,

    \sum_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}\langle\phi_{m} |A|\phi_{n}\rangle

    \sum_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\sum_{n}|\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}|\phi_{m}\langle A|\phi_{n}\rangle|

    Pero las sumatorias del lado izquierdo son relaciones de clausura, por lo tanto se sustituye el valor de uno,

    A = \sum_{mn}A_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

    Sustituyendo el valor de U(mn) se obtiene el resultado final

    A = \sum_{mn}A_{mn}U(m,n)

    f. Aquí empezamos por el lado derecho

    Tr{AU^\dagger(p,q)}

    = Tr{A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}}|

    = \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|\phi_{i}\rangle

    = \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\delta_{pi}

    = \sum_{i}A_{iq}\delta_{pi}

    = A_{pq}

     
    • Favio Vázquez 2:21 pm el julio 9, 2012 Permalink | Responder

      En la parte d) es muy sencillo, solo tienes que aplicar lo que hiciste en la parte f) a U(m,n), y te da la sumatoria en i de dos deltas de kronecker en im y ni.

      En la parte e) hay un poco de confusión en los primeros pasos, siempre en la derecha serán los índices de A mn. Luego no cambies los bra y kets sino que dejalos como estan |Qm><Qn| en el lado derecho que eso te da directamente U(m,n).

      Pero muy bien, gracias.

      • hernandezgomez 5:38 pm el julio 11, 2012 Permalink | Responder

        Hola, Favio. Gracias por tu comentario. En realidad creo que me cansé de teclear la solución, pero qué bueno que lo escribes.
        Muchos saludos.

        • Laura 8:03 pm el mayo 23, 2015 Permalink

          Hola Favio muchas gracias por toda esta información,, no tendras notas del ejercicio 7 por favor

  • hernandezgomez 7:01 pm el August 14, 2011 Permalink | Responder  

    Velocidad de Escape de la Tierra 

    La velocidad de escape de una partícula de la Tierra  es la mínima velocidad que debe tener en la superficie terrestre para que la partícula pueda escapar del campo gravitatorio terrestre. Si se desprecia la resistencia de la atmósfera, el sistema es conservativo. Demostrar que, ignorando la presencia de otros cuerpos (la luna, el sol, …), la velocidad de escape para la Tierra es 11.2 km/s.
    Sean las  variables  siguientes

    R_{c} =Radio terrestre
    r =  distancia de la partícula a la superficie terrestre
    m =  masa de la partícula
    M_{c} = masa de la tierra

    Aplicando la ley de la gravitación de Newton se tiene:

    m{d^{2}r\over d^{2}t} = -{GM_{c}m \over (r + R_{c})^{2}}

    y aplicando ahora el hecho de que

    {GM_{c}m \over R_{c}^{2}} = mg

    o, lo que es lo mismo

    GM_{c} = g{R_{c}}^{2}

    y sustituyendo esto en la primera ecuación la transformamos en:

    {d^{2}r\over d^{2}t} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})^{2}}

    Las condiciones iniciales son

    r = 0
    {dr \over dt} = v_{0}   en t = 0

    y usando v = {dr \over dt}

    {dr\over dt}{dv \over dr} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})_{2}}

    se transforma en

    v{dv \over dr} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})_{2}}

    integrando esto

    v^{2} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})} -2gR_{c} + {v_{0}}^{2}
    Esta es la expresión para encontrar la velocidad de la partícula en función de su velocidad de salida v_{0}, el radio de la tierra R_{e} y r la distancia recorrida desde la superficie terrestre hasta el espacio. La condición principal que se ha de utilizar para encontrar la velocidad de escape es considerar que v = 0 cuando r = \inf ; es decir que para efectos prácticos la partícula no se detendrá nunca. Aplicando esta condición tenemos
    {v_{0}}^{2} = 2gR_{e}

    y usando los datos (Resnick)

    g = 9.78m/s^{2}   y R_{e} = 6.37X10^{6}m

    v_{0} = 11.16 km/s

    Aquí unas palabras acerca del viaje a la luna como un fraude.

     
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