Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 6

La matriz \sigma_{x} está definida por

\sigma_{x} = \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end {pmatrix}

pruebe la relación:

e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i \sigma_{x} sin \alpha

donde  1 es la matriz unidad de 2×2.

Solución:

Es conveniente recordar lo siguiente:

e^{x} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + ...  ………………………….(1)

sinx = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ...   ……………………….(2)

cosx = \frac{1}{1!} - \frac{2}{2!} + \frac{4}{4!} - ...      ……………………..(3)

También \begin{pmatrix}0 &\ 1\\1 &\ 0\end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix}1&\ 0 \\ 0 &\ 1\end{pmatrix} para n par y \begin{pmatrix}0 &\ 1 \\ 1 &\ 0 \end{pmatrix} para n impar        …………….. (4)

Usando la primera relación

e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + ...

y separando las sumas con exponentes pares e impares

e^{i \alpha \sigma_{x}} = \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{0}}{0!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{2}}{2!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{4}}{4!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{6}}{6!} + ...

+ \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{3}}{3!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{5}}{5!} + \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{7}}{7!} + ...

y usando la relación (4) la suma anterior se vuelve

e^{i \alpha \sigma_{x}} = 1 + \frac{(i)^{2}(\alpha )^{2}(1)}{2!} + \frac{(i)^{4}(\alpha)^{4}( 1)}{4!} + \frac{((i)^{6}(\alpha)^{6} (1)}{6!} + ...

+ \frac{(i\alpha \sigma_{x})^{1}}{1!}\frac{(i)^{3}(\alpha)^{3}}{3!} + \frac{(i)^{5}(\alpha)^{5}}{5!} – …

y usando (2) y (3)

e^{i\alpha \sigma_{x}} = 1cos \alpha + i\sigma_{x}sin\alpha