Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 5

Sea P_{1} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{1} y P_{2} el proyector ortogonal en el subespacio \epsilon_{2}. Muestre que, para el producto P_{1}P_{2} sea también un proyector ortogonal, es necesario y suficiente que P_{1} y P_{2} conmuten. En este caso, ¿cuál es el subespacio al cual P_{1}P{2} proyecta?

Solución:

Para que P = P_{1}P_{2} sea un proyector es necesario y suficiente que P = P^{\dagger} o P_{1}P_{2} = P_{2}P{1}

o P_{1}P{2} - P_{2}P_{1} = 0  lo cual implica que [P_{1}, P_{2}] = 0

Así pues, se requiere y basta que P_{1} conmute con P_{2}

El operador P = P_{1}P_{2} primero proyecta en el espacio \epsilon_{2} y a continuación proyecta al subespacio \epsilon_{1} Como los proyectores son ortogonales, la proyección final es 0.

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