Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 4

Sea el operador k definido por k = |\phi\rangle\langle\psi| don de |\phi\rangle y |\psi\rangle son dos vectores del espacio de estado..

a) ¿Bajo qué condiciones es K hermitiano?

k es hermitiano \Leftrightarrow k = k^{\dagger}

b) Calcule k^{2}. ¿Bajo qué condiciones es k un proyector?

k^{2} = |\phi\rangle\langle\psi|\phi\rangle\langle\psi|

De donde k^{2} es un proyector si \langle\psi|\psi\rangle = 1

y además |\phi\rangle = |\psi\rangle

c) Muestre que k siempre puede ser escrito en la forma k = \lambda P_{1}P_{2} donde \lambda es una constante por determinar y P_{1} y P_{2} son proyectores.

k = |\phi\rangle\langle\psi| = |\phi\rangle\left( \frac{\langle\phi|\psi\rangle}{\langle\phi|\psi\rangle}\right)\langle\psi|

\frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle} |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|

\frac{1}{\langle\phi|\psi\rangle}P_{1}P_{2}

donde P_{\psi} es el proyector en el subespacio generado por | \psi\rangle y P_{\phi} es el proyector en el subespacio generado por |\phi\rangle