Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 3

Ejercicio 5 El espacio de estados de cierto sistema físico es tridimensional.  Sea |u_{1} \rangle, |u_{2}\rangle, |u_{3}\rangle, una base otrnormal de este estado. Los kets |\phi_{0}\rangle y |\phi_{1}\rangle son definidos por

|\phi_{0}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|u_{1}\rangle + \frac{i}{2}|u_{2}\rangle + \frac{1}{2}|u_{3}\rangle

|\phi_{1}\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|u_{1}\rangle + \frac{i}{\sqrt{3}}|u_{3}\rangle

a) ¿Están normalizados los kets?

Para ver si los kets están normalizados, es necesario encontrar el producto interno

\langle\phi_{0}|\phi_{0}\rangle = (\frac{1}{\sqrt{2}}  – \frac{i}{2}   \frac{1}{2}) \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) = 1

Así pues, el ket |\phi_{0}\rangle está normalizado.

En tanto que

\langle\phi_{1}|\phi_{1}\rangle = (\frac{1}{\sqrt{3}}  – \frac{i}{\sqrt{3}}) \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{i}{\sqrt{3}} \end{array}\right ) = 2/3

Por lo cual |\phi_{1}\rangle  no está normalizado.

b) Calcule las matrices \rho_{0}  y \rho_{1}que representan, en la base |u_{1}\rangle|u_{2}\rangle , u_{3}\rangle los operadores de proyección en los estados \phi_{0}\rangle y \phi_{1}. Verifique que esas matrices son hermitianas.

El proyector en el estado \phi_{0}\rangle  se obtiene por

P_{0} = |\phi_{0}\rangle \langle\phi_{0}|

\left ( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} \end{array}\right ) (\frac{1}{\sqrt{2}}  – \frac{i}{2}   \frac{1}{2})

P_{0} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1&\frac{-i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{i}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

y calculándolo de la misma manera, se tiene que

P_{1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&\ 0 &\ -i \\ 0 &\ 0 &\ 0\\ i & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ambas matrices son hermitianas, como se puede comprobar intercambiando filas por columnas conjugadas.