Los exponentes de Liapunov

Consideremos para empezar la aplicación logística definida por la relación recursiva
x_{n+1} = r(1 - x_{n}) , x \in (0,1), en donde r es un parámetro (fertilidad) que determina el comportamiento del mapeo.
Lo que es importante mencionar aquí es el comportamiento del mapeo para dos puntos iniciales, x y x + \epsilon , que empiezan relativamente cerca el uno del otro, i.e. \epsilon/x \ll 1. Después de N iteraciones, la distancia entre los puntos es una cantidad que viene dada por la función
|f^{N}(x + \epsilon ) - f^{N}(x)| = g(x, \epsilon, N), en donde
f(x)=rx(1 - x).
La relación exacta que da la distancia entre los puntos es

g(x, \epsilon, N) = \epsilon e^{N\lambda (x)}
donde \lambda (x) es llamado el exponente de Liapunov de x, y es una medida de la contracción o alejamiento de los puntos en el espacio fase. Si se despeja, el exponente de Liapunov es el siguiente:
\lambda(x) = \frac{1}{N} \ln \frac{f^{N}(x + \epsilon) - f^{N}(x) }{\epsilon }\

Llevado al límite en el cual N\to\infty y \epsilon\to 0
el exponente de Liapunov se transforma en:

\lambda (x) = \lim_{N \longrightarrow \infty} \frac{1}{N} \ln|\frac{df^{N}(x_{0})}{dx_{0}}|

Este resultado se puede escribir de una manera diferente si se usa la regla de la cadena para derivar f^{2}(x)
\frac{d}{dx}f^{2}(x)|_{x_{0}} = f^{'}[f(x_{1})]f^{'}(x_{0})
con lo cual el exponente de Liapunov puede expresarse como:

\label{liapunov} \lambda(x_{0}) = \lim_{\longrightarrow \infty } \frac{1}{N} \sum_{i = 0} \ln|f^{'}(x_{i})|

Lo que se puede ver de la Ecuación es que cuando el valor absoluto de la derivada es mayor que 1, entonces el logaritmo es positivo; si los sucesivos puntos divergen, entonces el promedio de los logaritmos del valor absoluto de la derivada es
positivo. Esto permite dar una definición de comportamiento caótico:

Un mapeo unidimensional tiene trayectorias caóticas para un valor particular del parámetro si el exponente de Liapunov es positivo para ese valor del parámetro.

Con este resultado es posible calcular el exponente de Liapunov como función de r para la aplicación logística.

Exponente de Liapunov para la Aplicación Logística

La Figura fue hecha a partir del siguiente código en C++. Las zonas en las que el exponente de Liapunov es mayor que cero son zonas caóticas, coincidiendo con lo dicho arriba.

#include <iostream>
using namespace::std;

#include <cmath>

enum { CONTADOR = 10000 };

int main()

 { // Abre main

long double EquisN = 0.1;
long double Suma = 0;
long double EquisNmasUno;
long double k;

for( k = 3.3; k <= 4; k += 0.0001 )
 { // Abre for

 Suma = 0;

for ( int n = 1; n <= CONTADOR; n++ )

 { // Abre for anidado controlado por CONTADOR

 EquisNmasUno = k*EquisN*(1 - EquisN);
 Suma += log(fabs(k - 2*k*EquisNmasUno));
 EquisN = EquisNmasUno; 

 } // Cierra for anidado controlado por contador 

 cout << k << " " << Suma/CONTADOR << endl; 

 } // Cierra for que controla el valor de k 

return 0;
 } // Cierra main

Es bueno comparar la Gráfica con la gráfica (XXX) en la cual se muestra cómo la aplicación logística va pasando por regímenes de periodicidad hasta llegar a zonas en las que su comportamiento se vuelve caótico, dentro de las cuales de nuevo existen zonas de periodicidad, etcétera. Si se hiciera un acercamiento a la Gráfica ( ) en esas zonas, modificando el programa de arriba para hacer que r varíe más lentamente, podrían verse pequeñas secciones en las que los exponentes de Liapunov están por debajo de 0.