Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 2

Ejercicio 2. En un espacio vectorial bidimensional, considere el operador cuya matriz, en una base ortonormal {|1\rangle, |2\rangle}, es escrita :

\sigma_{y} = \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)

a. ¿Es \sigma_{y} hermitiana? Calcule sus eigenvalores y eigenvectores (dando su expansión normalizada en términos de  la base {|1\rangle, |2\rangle}.

b Calcule las matrices que representan los proyectores en esos eigenvectores. Verifique que satisfacen las relaciones de ortogonalidad y clausura.

c Lo mismo para las matrices:

M = \left(\begin{array}{cc}2&i\sqrt{2}\\-i\sqrt{2}&3 \end{array}\right)

L_{y} = \frac{\hbar}{2i} \begin{pmatrix}0&\sqrt{2}&0\\ -\sqrt{2}&0&\sqrt{2}\\ 0&-\sqrt{2}&0\end{pmatrix}

Solución:

a. La matriz es herminitana, ya que al tomar los complejos conjugados e intercambiar filas por columnas, se obtiene la misma matriz.

Por medio de la siguiente igualdad se encuentran los eigenvalores y eigenvectores de la matriz:

\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \lambda\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)                                (1)

Desde luego, esto se convierte en un sistema de dos ecuaciones :

0 -iy = \lambda x                                                    (2)

 ix + 0y = \lambda y                                               (3)

o, lo que es lo mismo

-iy = \lambda x                                                          (4)

ix = \lambda y                                                           (5)

y este par de ecuaciones combinadas produce la ecuación de segundo grado con \lambda como incógnita.

\lambda^{2} = 1                                                         (6)

Por lo tanto los eigenvalores de la matriz son \lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1

Sustituyendo el valor 1 para \lambda se encuentra el primer eigenvector:

\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)                                                      (7)

esta ecuación se transforma en un par de igualdades

-iy = x                                                                            (8)

ix = y                                                                               (9)

despejando x de (9) se obtiene x = \frac{1}{i}y e igualando con (8), se obtiene que y es un parámetro y x está dado en términos de ese parámetro,

x = -it , y = t                                                   (10)

Así pues, el vector \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)  se puede escribir como

\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = t\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)

Ese parámetro tiene que ser tal que el vector sea unitario, lo cual conduce a obtener

\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)                                                               (11)

el cual es el primer eigenvector de la matriz

Sustituyendo ahora el valor

\lambda = -1 se obtiene la siguiente ecuación matricial

\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-x\\-y\end{array}\right)                                                          (12)

que conduce al par de ecuaciones

-iy = -x                                                                                           (13)

ix = -y                                                                                             (14)

(13) implica que x= iy , en tato que (14) implica que x = -\frac{1}{i}y

y queda entonces como parámetro y el segundo eigenvector puede escribirse como

\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = s\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)                              (15)

para normalizarlo, el parámetro se convierte en \frac{1}{ \sqrt{2}} , y (15) se escribe como

\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)                               (16)

el cual es el segundo eigenvector de la matriz.

b

y con (11) y (16) escritos de manera más conveniente como |\phi_{1}\rangle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right) y  |\phi_{2}\rangle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)