Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 2

Ejercicio 2. En un espacio vectorial bidimensional, considere el operador cuya matriz, en una base ortonormal { $|1\rangle, |2\rangle$ }, es escrita :

$\sigma_{y} = \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)$

$a.$ ¿Es $\sigma_{y}$ hermitiana? Calcule sus eigenvalores y eigenvectores (dando su expansión normalizada en términos de la base { $|1\rangle, |2\rangle$ }.

$b$ Calcule las matrices que representan los proyectores en esos eigenvectores. Verifique que satisfacen las relaciones de ortogonalidad y clausura.

$c$ Lo mismo para las matrices:

$M = \left(\begin{array}{cc}2&i\sqrt{2}\\-i\sqrt{2}&3 \end{array}\right)$

Solución:

$a.$ La matriz es herminitana, ya que al tomar los complejos conjugados e intercambiar filas por columnas, se obtiene la misma matriz.

Por medio de la siguiente igualdad se encuentran los eigenvalores y eigenvectores de la matriz:

$\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) =$ $\lambda\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ (1)

Desde luego, esto se convierte en un sistema de dos ecuaciones :

$0 -iy =$ $\lambda x$ (2)

$ix + 0y =$ $\lambda y$ (3)

o, lo que es lo mismo

$-iy = \lambda x$ (4)

$ix = \lambda y$ (5)

y este par de ecuaciones combinadas produce la ecuación de segundo grado con $\lambda$ como incógnita.

$\lambda^{2} = 1$ (6)

Por lo tanto los eigenvalores de la matriz son $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1$

Sustituyendo el valor 1 para $\lambda$ se encuentra el primer eigenvector:

$\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) =$ $\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ (7)

esta ecuación se transforma en un par de igualdades

$-iy = x$ (8)

$ix = y$ (9)

despejando x de (9) se obtiene $x = \frac{1}{i}y$ e igualando con (8), se obtiene que y es un parámetro y x está dado en términos de ese parámetro,

$x = -it$ , $y = t$ (10)

Así pues, el vector $\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ se puede escribir como

$\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ = $t\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)$

Ese parámetro tiene que ser tal que el vector sea unitario, lo cual conduce a obtener

$\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)$ (11)

el cual es el primer eigenvector de la matriz

Sustituyendo ahora el valor

$\lambda = -1$ se obtiene la siguiente ecuación matricial

$\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0 \end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right) =$ $\left(\begin{array}{cc}-x\\-y\end{array}\right)$ (12)

que conduce al par de ecuaciones

$-iy = -x$ (13)

$ix = -y$ (14)

(13) implica que $x= iy$ , en tato que (14) implica que $x = -\frac{1}{i}y$

$y$ queda entonces como parámetro y el segundo eigenvector puede escribirse como

$\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ = $s\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)$ (15)

para normalizarlo, el parámetro se convierte en $\frac{1}{ \sqrt{2}}$ , y (15) se escribe como

$\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)$ (16)

el cual es el segundo eigenvector de la matriz.

$b$

y con (11) y (16) escritos de manera más conveniente como $|\phi_{1}\rangle$ = $\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}-i\\1\end{array}\right)$ y $|\phi_{2}\rangle$ = $\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc}1\\-i\end{array}\right)$