Cohen-Tannoudji, Capítulo 2, Ejercicio 1

Notación de Dirac. Conmutadores. Eigenvectores y eigenvalores.

Ejercicio 1|\phi_{n}\rangle son los eigenestados de un operador hermitiano H (H es, por ejemplo, el Hamiltoniano de un sistema físico arbitrario). Asuma que los estados |\phi_{n}\rangle forman una base ortonormal discreta. El operador U(m,n) se define como:

U(m,n) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

a. Calcule el adjunto U^\dagger(m,n) de U(m,n).

b. Calcule el conmutador [H, U(m,n)]

c. Pruebe la relación :

U(m,n)U^\dagger(p,q) = \delta_{nq}U(m,p)

d. Calcule Tr{ U(m,n) }, la traza del operador U(m,n)

e. Sea A un operador,  con elementos de matriz  A_{m.n} = \langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle. Pruebe la relación

A = \sum_{m,n}A_{m.n}U(m,n)

f. Muestre que: A_{pq} = Tr{AU^\dagger(p,q)}

Solución.

a. Es directo, el adjunto se obtiene cambiando bras por kets y kets por bras; y se cambian las posiciones.

U(m,n)^\dagger = |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{m}|

b.  Éste también es un ejercicio sencillo.

[H, U(m,n)] = H|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|H

= a_{m}\langle\phi_{n}|a_{n}|\phi_{m}\rangle

c.  Este también consiste en jugar  un poco con los operadores

U(m,n)U^\dagger(p,q) = |\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}||\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|

= |\phi_{m}\rangle\delta_{nq}\langle\phi_{p}|

= \delta_{nq}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{p}|

= \delta_{nq}U(m,p)

d

e  Partiendo de que,

\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\rangle = A_{mn}

y haciendo actuar |\phi_{m}\rangle y \langle \phi_{n}| en ambos lados de esa igualdad, tenemos:

|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \langle\phi_{m}| A|\phi_{n}\rangle

Y sumando sobre m y n en ambos lados,

\sum_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\phi_{n}\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}\langle\phi_{m} |A|\phi_{n}\rangle

\sum_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}|A|\sum_{n}|\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \sum_{mn}|\phi_{m}\langle A|\phi_{n}\rangle|

Pero las sumatorias del lado izquierdo son relaciones de clausura, por lo tanto se sustituye el valor de uno,

A = \sum_{mn}A_{mn}|\phi_{m}\rangle\langle\phi_{n}|

Sustituyendo el valor de U(mn) se obtiene el resultado final

A = \sum_{mn}A_{mn}U(m,n)

f. Aquí empezamos por el lado derecho

Tr{AU^\dagger(p,q)}

= Tr{A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}}|

= \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\langle\phi_{p}|\phi_{i}\rangle

= \sum_{i}\langle\phi_{i}|A|\phi_{q}\rangle\delta_{pi}

= \sum_{i}A_{iq}\delta_{pi}

= A_{pq}