Unas Teclas Especiales en la Calculadora

Las teclas de las calculadoras sirven para introducir números, realizar operaciones aritméticas, calcular funciones importantes, etc. La mayoría de las calculadoras contienen teclas con unas funciones básicas: x^{2}, sin(x), 1/x, etc. y la mayoría de esas funciones son aburridas. En un día de esos en los que no se tiene nada mejor qué hacer, podemos analizar el comportamiento “a largo plazo” de algunas de ellas, y ver si les sacamos algo de provecho:
La Tecla x^{2}
Vamos a suponer que tenemos la tecla x^{2} Se puede hacer el siguiente ejercicio. Iniciando con un valor arbitrario (digamos 0.5427) en el intervalo (0,1) vamos a iterar unas cuantas veces los resultados sucesivos. Esto es, se escribe en la calculadora el número 0.5427, y a continuación x^{2} varias veces. En caso de que la calculadora no tenga la tecla x^{2}, se puede obtener un resultado equivalente con X y luego =.
El resultado de hacer esto, es que muy rápidamente veremos que las iteraciones se acercan y finalmente convergen al punto estable 0. De hecho, bastan unas 5 iteraciones.
La tecla cos(x)
Vamos a elegir ahora la tecla cos(x). Con esta tecla calculamos el coseno de un ángulo. Es importante que antes hayamos puesto nuestra calculadora en el modo Radianes. Elegimos un número arbitrario entre 0 y 1 y aplicamos la tecla sucesivamente a los valores que vayan apareciendo. Si lo hacemos unas cuantas veces, unas 30, observamos que este mapeo converge a un valor estable igual a 0.739085, como puede verse en la siguiente gráfica.

La iteración de la función coseno converge rápidamente a el valor 0.739085. ¿Por qué?


La Tecla tan(x)
Tomemos ahora otra función trigonométrica, la tangente. Y vamos a hacer la misma rutina. Comenzamos con el número 0.5427 y presionamos la tecla tan(x). La pantalla presentará un valor y nosotros presionamos de nuevo tan(x), y lo hacemos así unas cuantas decenas de veces. ¿A qué valor convergen las iteraciones de la tangente? Supongamos que presionamos 40 veces la tecla de la tangente. Si graficamos los números obtenidos, veremos una figura parecida a la siguiente:

Hasta las primeras 40 iteraciones, la función tangente parece converger a un número estacionario.


Hay que admitir, de entrada, que esta serie tiene un comportamiento extraño. hasta la cuarta iteración, los números suben, pero en la quinta bajan, y a partir de la sexta, parecen establecerse alrededor de 0. Pero, ¿de verdad están acercándose a un número? Para responder a esta pregunta, podemos hacer un acercamiento a la figura anterior acotando un poco el eje de las Y.

Un acercamiento a la gráfica anterior, muestra que la serie en realidad no está convergiendo.


De hecho, la serie no está convergiendo. Esto se puede ver fácilmente si iteramos más veces, digamos, unas 4 mil. Sí, es mucho para hacerlo en una calculadora manual, pero se supone que tenemos mucho tiempo libre. Si almacenamos esos datos y los graficamos, vamos a obtener la siguiente figura:

4000 iteraciones muestran que la función tangente no converge (al menos en esas primeras 4 mil), aunque presenta períodos de relativa estabilidad.


No tenemos que hacerlo más veces. Es un hecho que ese mapeo no converge, aunque hay veces que parece realmente hacerlo, y se queda “estancado” cerca de un punto. Éste caso, nos deja la importante lección de que no todas las teclas de la calculadora caen a un sólo número. En tanto que x^{2} y cos(x) sí se acercan a un número, tan(x) no.
La Tecla x^{2} - 1
Bueno, nunca me he encontrado con una calculadora que tenga esta tecla, pero podemos crearla. Vamos ahora a construir la tecla x^{2} -1. Las calculadoras no incluyen esa función, por lo cual nosotros la construimos por medio de teclear X y =. Y vamos también a crear un ciclo de iteración empezando por un número contenido entr 0 y 1, de nuevo 0.5427. Es importante decir que ese es un número que a mi se me ha ocurrido y no tiene nada de especial; a alguien más se le puede ocurrir otro. Tampoco es que tenga mucha importancia el número de decimales, pero para poder ver cómo evoluciona la función, he tomado hasta los primeros 4 dígitos después del punto. Lo importante realmente es que sea un número comprendido entre 1 y 0, pero sin incluir a éstos. Este ciclo de iteración se puede hacer con la calculadora, siempre que se quiera dedicar unos minutos a la tarea de estar oprimiendo teclas.
1) Escribimos 0.5427
2) Tecleamos X e =
3) tecleamos -1 e =
4) Repetimos los pasos 2) y 3) muchas veces.
Esa es la receta, pero ya que somos programadores, bien podemos escribir unas cuantas líneas de código para que el trabajo sea mínimo. El siguiente es un programa en el lenguaje C, pero el algoritmo se puede escribir fácilmente en cualquier otro.

/*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  *                                                    *
  * Este programa itera una <<tecla especial>> de la   *
  * calculadora.                                       *
  *                                                    *
  * +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/

 /*+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  *                                                    *
  *                 ALGORITMO:                         *
  *  Mientras la variable n sea menor a N              *
  *  x(n+1) = k(x*x) - 1                               *
  *  incrementa n en uno                               *
  *++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
 
  #include <stdio.h>
  #define N 100
 
  int main()
  {     /*Abre main*/
  int k = 1; /*Esta variable se puede cambiar*/
  int n;  /* Variable contador */
  double x = 0.5427;
  
  for ( n = 1; n <= N; n++ )
  {  /* Abre for */
  x = k*x*x - 1;
  printf("%f\n", x);
  }  /* Cierra for */

  return 0; 
  }     /*Cierra main*/   

Los resultados que arroja ese programa son los siguientes:

-0.705477  -0.502303  -0.747692  -0.440957  -0.805557  -0.351077
-0.876745  -0.231319  -0.946492  -0.104154  -0.989152  -0.021578
-0.999534  -0.000931  -0.999999  -0.000002  -1.000000  -0.000000
-1.000000   0.000000  -1.000000   0.000000   ...

Tal vez no sea evidente a partir de la lista, pero los números presentan un comportamiento errático al principio, empiezan a oscilar y finalmente se establecen en 0 y -1. La siguiente gráfica muestra la evolución

Para la aplicación x = x*x – 1, Iniciando con un número en (0,1), después de unas cuantas iteraciones, se llega a un par de puntos fijos: 0 y 1.


La Tecla 2x^{2} -1
Vamos construir una tecla más. Una muy parecida a la anterior. De hecho, lo único que cambia es el 2 que multiplica a x^{2}. Es de esperarse, por lo tanto, que su comportamiento a largo plazo sea parecido a x^{2} -1. Para esto, podemos usar el mismo programa que se presentó arriba. Basta con cambiar el valor de la variable k de 1 a 2. Después de 50 iteraciones, el resultado es el siguiente:

A diferencia de x^{2} - 1, el mapeo 2x^{2} -1 no muestra ninguna regularidad.


Esta iteración no converge a un punto, ni a dos. Tampoco muestra periodos de relativa regularidad, como tan(x). Podrían hacerse miles de iteraciones, y el resultado sería el mismo.

Sensibilidad fuerte a las condiciones iniciales en el mapeo 2x^{2} - 1. Un par de puntos con una diferencia de 0.0001, divergen después de algunas iteraciones.


Las dos últimas teclas muestran el comportamiento del mapeo kx^{2} - 1. La variación del parámetro k es lo que lo determina. Para x = 1, el resultado es el que hemos visto, se alcanza un par de ciclos límite. En cambio, para k = 2 el comportamiento es totalmente impredecible. Para k = 1.4, aparecen 16 ciclos, y para k = 1.5 no hay ninguno. Sin embargo, en k = 1.75 se obtienen 3 ciclos.
Un profesor de mecánica, solía decir que los físicos con una teoría, son como niños con un objeto interesante. Cuando un niño se encuentra un objeto que le atrae, lo mira de frente, lo mira de lado, lo gira, etc. El objeto sigue siendo el mismo, pero su comprensión se facilita con todas esas perspectivas. Lo mismo hacen los físicos con las teorías. Para finales del siglo XVIII, la mecánica newtoniana había sido reformulada y reconstruida de distintas maneras. Ninguna nueva ley había sido descubierta, pero el conocimiento se había incrementado. Tan grande era la confianza y tan grande era su rango de aplicaciones, que el matemático francés, Pierre Simon, marqués de Laplace llegó a escribir una frase que desde entonces se hizo célebre:
“Un ser inteligente, que en un instante dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la forman, y que fuera lo suficientemente inmenso como para poder analizar dichos datos, podría condensar en una única fórmula el movimiento de los objetos más grandes del universo y el de los átomos más ligeros: nada sería incierto para dicho ser, tanto el futuro como el pasado estarían presentes ante sus ojos”
Ésta declaración tiene incluso implicaciones filosóficas, aunque esa es otra discusión. En realidad lo importante, es que el mundo mecánico del siglo XVIII era visto como un sistema de relojería. Todo el universo era un engranaje enorme, del cual podía saberse el pasado y el futuro, con tal de saber las condiciones iniciales y la ecuación que lo gobierna. Tuvo que llegar la mecánica cuántica más de un siglo después para acabar con éste optimismo. Si no somos capaces de dar certeza sobre un electrón, menos lo somos para hablar del universo. Y sin embargo, no es necesaria la mecánica cuántica para derribar esta visión de relojería.
El estudio del comportamiento a largo plazo de las teclas de calculadora que hemos visto, y que en realidad son mapeos simples, dejan una lección muy importante: muestra que una ecuación sencilla, no necesariamente conduce a una dinámica sencilla. De hecho, el caso de las teclas tan(x) y kx^{2} - 1 son un par de ejemplos de sistemas caóticos, o más bien, de sistemas que presentan caos determinista, que es como los expertos prefieren denominarlo, para dejar claro, que, a pesar del nombre, algo de orden puede encontrarse en él. La función tan(x) llega al caos por una vía llamada intermitencia, en tanto que kx^{2} - 1 llega por una vía llamada duplicación de períodos, y el ejemplo más estudiado de él es el Mapeo Logístico. Sólo hace falta una ruta llamada crisis, de las cuales no se presenta un ejemplo.
Tal vez la característica más conocida de un comportamiento caótico, sea la sensibilidad fuerte a las condiciones iniciales. Iniciar en un par de puntos muy cercanos, no garantiza que terminemos en puntos cercanos. La segunda figura de la Tecla 2x^{2} - 1 es una muestra de ésto. Aunque tal vez, la sensibilidad fuerte a condiciones iniciales sea mejor conocida como “efecto mariposa”: el aleteo de una mariposa en Brasil puede provocar un huracán en Florida. Y la imagen más conocida es la del atractor de Lorenz, el cual, como coincidencia, parecen las alas de una mariposa:

El atractor de Lorenz


Si usted tenía la idea de que las ecuaciones que predicen el comportamiento de los sistemas dinámicos eran, más o menos como una bola de cristal para ver el futuro, es bueno reconsiderar esa postura. El caos está saltando desde las teclas de su calculadora de bolsillo. Los modelos de población, los modelos económicos, los movimientos de la bolsa de valores, entre muchos otros fenómenos, presentan caos. El ecólogo Robert May dijo en un famoso artículo en 1976:
“No sólo en investigación, sino en el mundo ordinario de la política y la economía, estaríamos mucho mejor si hubiese más gente que comprendiera que los sistemas simples no poseen necesariamente propiedades dinámicas simples”.

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