Velocidad de Escape de la Tierra

La velocidad de escape de una partícula de la Tierra  es la mínima velocidad que debe tener en la superficie terrestre para que la partícula pueda escapar del campo gravitatorio terrestre. Si se desprecia la resistencia de la atmósfera, el sistema es conservativo. Demostrar que, ignorando la presencia de otros cuerpos (la luna, el sol, …), la velocidad de escape para la Tierra es 11.2 km/s.
Sean las  variables  siguientes

R_{c} =Radio terrestre
r =  distancia de la partícula a la superficie terrestre
m =  masa de la partícula
M_{c} = masa de la tierra

Aplicando la ley de la gravitación de Newton se tiene:

m{d^{2}r\over d^{2}t} = -{GM_{c}m \over (r + R_{c})^{2}}

y aplicando ahora el hecho de que

{GM_{c}m \over R_{c}^{2}} = mg

o, lo que es lo mismo

GM_{c} = g{R_{c}}^{2}

y sustituyendo esto en la primera ecuación la transformamos en:

{d^{2}r\over d^{2}t} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})^{2}}

Las condiciones iniciales son

r = 0
{dr \over dt} = v_{0}   en t = 0

y usando v = {dr \over dt}

{dr\over dt}{dv \over dr} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})_{2}}

se transforma en

v{dv \over dr} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})_{2}}

integrando esto

v^{2} = -{g{R_{c}}^{2} \over (r + R_{c})} -2gR_{c} + {v_{0}}^{2}
Esta es la expresión para encontrar la velocidad de la partícula en función de su velocidad de salida v_{0}, el radio de la tierra R_{e} y r la distancia recorrida desde la superficie terrestre hasta el espacio. La condición principal que se ha de utilizar para encontrar la velocidad de escape es considerar que v = 0 cuando r = \inf ; es decir que para efectos prácticos la partícula no se detendrá nunca. Aplicando esta condición tenemos
{v_{0}}^{2} = 2gR_{e}

y usando los datos (Resnick)

g = 9.78m/s^{2}   y R_{e} = 6.37X10^{6}m

v_{0} = 11.16 km/s

Aquí unas palabras acerca del viaje a la luna como un fraude.

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